數學的意義——數學的思維之美附2022李永樂數學660題答案冊下載

飛行家孫

2022年5月13日 14:28

數學的思維方式當然也是一種智慧，這一點尤其重要。在學習數學的過程中間，掌握了數學的思維方式，怎么考慮問題等等，這比知識有價值得多。知識可以上網去搜，可以看書、翻書等都沒問題，但怎么考慮問題是能力中一個重要組成部分。我們用兩個例子看一下數學的智慧。

第一個例子是哥尼斯堡七橋問題。（如下圖）這是一個城市，河流是這個樣子，有七座橋，問題就是能否設計一條路線通過每一個橋，正好過一次。據說當時市民周末一個很受歡迎的消遣就是能否設計一條路線通過每座橋正好一次。但這個問題當時市民都沒有解決，最后大概是一個城市的市長把這個問題交給了歐拉，一個著名的數學家，歐拉把這個問題解決了。我們看一下歐拉是怎樣解決這個問題的，這個過程體現了抽象的價值和數學的思維。

首先這條河流把城市分成四部分，每一部分大小其實都不重要，重要的是過橋的路徑設計，從而可以把陸地抽象為一個點，大小反正無所謂，干脆沒有大小就得了。而橋就抽象成點與點之間的連線，這個圖就畫成這個樣子。簡化成這樣之后，這個問題的本質就全部展示出來了，除了起點和終點，走過中間那些點，走到這個點的次數和走出那個點的次數加起來必然是一個偶數，就是說連接那個點的橋數必然是偶數。可是上圖連接四個點的線路，也就是橋數分別是5、3、3、3，所以不可能設計一條路線通過每座橋正好一次。 歐拉解決這個問題的方式，顯出了抽象的價值和數學的智慧，這是圖論的開始，也是拓撲學的一個先聲。圖論在信息科學中間，包括網絡和芯片設計，都非常有用。

說到數學思維我們還舉一個例子，二戰期間很多數學家參與了戰爭，包括圖靈等人破譯密碼，也包括很多統計學家分析數據等等。其中有一件事情就是很多戰機出去空戰的時候，很多被擊落了，也有很多又回來了，回來的很多戰機上面就布滿了彈痕、彈眼之類的，這就需要分析在哪些地方需要加固。空軍提的建議是，應該在彈孔最多的地方加固，但數學家提出的意見是，應該在彈孔最少的地方加固。為什么？彈孔最多的都能飛回來，意味著這個地方多打幾個彈孔也沒關系，這就是個缺失數據的問題。彈孔少的地方，比如說發動機，因為被擊中后基本就是栽下去，回來的不多。數學家提出的觀點和軍方是完全相反的，后來事實證明數學家是對的，他挽救了很多飛機和飛行員的生命。

另外再舉個例子，就是晶體的分類。我們都很喜歡鉆石，非常的漂亮，還有雪花也很美，他們都是晶體。晶體有多少種？這是很實際的問題。晶體的主要特點是對稱，由外部的對稱和內部的對稱結構來決定，晶體的對稱性對晶體的種類帶來了很強的約束。數學中間研究對稱的分支是群論。外部的對稱是很容易確定的，關于內部的對稱，舍去了晶體的所有物理性質。僅從幾何對稱性的角度考慮晶體，在1885年到1890年期間，俄國的晶體學家 費多羅夫就確定了晶體的微觀的對稱形式230種。他的這項工作后來是晶體實驗工作數學理論的基礎，對晶體的內部結構的確定發揮了巨大的作用。包括1912年德國人勞厄，以及包括后來英國人 布拉格父子，他們對晶體內部結構的確定等等，這些數學理論都起了非常重要的作用。勞爾和布拉格父子先后于1914年和1915年獲得了諾貝爾獎。群論是研究對稱的一個基本工具，在物理中間非常重要，不過它的來源非常有意思，它是解方程產生的。