非線性振動簡介

能用線性微分方程描述的振動稱為線性振動，如前面所討論的簡諧振動、弱阻尼的諧受迫振動等。不能用線性微分方程描述的振動即稱為非線性振動。

從動力學(xué)角度分析，發(fā)生非線性振動的原因有兩個方面，即振動系統(tǒng)內(nèi)在的非線性因素和系統(tǒng)外部的非線性影響。

1. 內(nèi)在的非線性因素

振動系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)非線性恢復(fù)力，這是最直接的原因。例如，單擺（或復(fù)擺），當(dāng)擺角θ>5°時，非線性函數(shù)sinθ=θ - θ 3/3！+θ ⁵/5！- ···就不能近似簡化為θ 的線性函數(shù)，這時系統(tǒng)的恢復(fù)力矩M=-mgl (θ - θ 3/3！+θ ⁵/5！- ···) 即為非線性的。又如彈簧振子，只有當(dāng)振子的位移較小時，恢復(fù)力才與位移成正比。當(dāng)位移較大時，即使仍在彈性形變的范圍，其恢復(fù)力與位移之間也將呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，即F=-k1x - k2x 2 - k3x 3···。

振動系統(tǒng)在非線性恢復(fù)力作用下，即使作無阻尼的自由振動也不是簡諧振動，而是一種非線性振動。

如果振動系統(tǒng)的參量不能保持常數(shù)，例如描述系統(tǒng)“慣性”的物理量或擺長之類的參量不能保持常數(shù)，則形成參量振動一類的非線性振動。如漏擺，其在擺動過程中質(zhì)量m 和擺長l 均在變化；而蕩秋千則是轉(zhuǎn)動慣量和擺長均在變化的復(fù)擺。

自激振動也是一種非線性振動，產(chǎn)生這種非線性振動的根本原因仍是系統(tǒng)本身內(nèi)在的非線性因素。所謂自激振動，就是振動系統(tǒng)能從單向激勵中自行有控地吸收能量，將單向運(yùn)動能量轉(zhuǎn)化成周期性振蕩的能量。這種轉(zhuǎn)化不是線性系統(tǒng)所能完成的，所以自激振動是非線性振動。例如，樹梢在狂風(fēng)中的呼嘯，琴弦上奏出的音樂，自來水管突如其來的喘振等，都是自激振動的實(shí)例。

2. 外在的非線性影響

一種情況是非線性阻尼的影響。例如，當(dāng)振子在介質(zhì)中的振速過大時，受到的阻力將是速度的非線性函數(shù)，即fr = -k1v - k2v 2 - k3v 3 - ···；另一種情況是策動力為位移或速度的非線性函數(shù)，即F = F (x, x 2, x 3 , ··· , v, v 2, v 3, ···)。

只要存在以上所說的一種非線性因素，系統(tǒng)的振動就是非線性的。因此，非線性振動是一種統(tǒng)稱，針對具體不同的非線性因素，系統(tǒng)的振動形式是完全不同的。此外，線性振動與非線性振動的最大區(qū)別在于：線性振動滿足疊加原理，而非線性振動不滿足疊加原理。

非線性振動研究的方法及意義

如閱讀材料“時空對稱性和守恒定律”所述，非線性微分方程是個性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)方程，有解析解的極少。因此，對非線性振動研究的方法基本上是近似簡化、圖解及計算機(jī)處理。

當(dāng)微分方程中非線性項(xiàng)與線性項(xiàng)相比很小時，可采用近似簡化的方法求解。盡管所得解不甚精確，但已能反映非線性振動的主要特征。近似簡化方法很多，例如對恢復(fù)力為非線性的振動，常采用微擾法，也稱逐次近似法。這種方法是將恢復(fù)力中的非線性成分看作附加在線性成分上的一個微量（微擾），振子在這種力作用下的運(yùn)動也將是對僅在線性力作用下的簡諧振動有微小偏離的運(yùn)動。這種偏離既有對頻率的偏高，也有對簡諧振動的偏離。將這種偏離運(yùn)動寫成逐項(xiàng)減小的冪級數(shù)作為試解代入非線性運(yùn)動方程，按所需精度略去高階無窮小量，從而求得振子運(yùn)動的解。

用圖解的方法處理非線性問題適應(yīng)性較廣，在振動理論、統(tǒng)計物理及混沌現(xiàn)象中應(yīng)用較多的圖解法是相平面方法。

在相平面方法中是把速度當(dāng)作一個變量，例如在討論質(zhì)點(diǎn)的一維運(yùn)動時，若作用于質(zhì)點(diǎn)的力是位置和速度的函數(shù)，即F = F (x,)，則其運(yùn)動微分方程是

把當(dāng)作一個新的變量，并記為v，則可寫成

于是原方程可改寫為

上式是關(guān)于v 和x 的一階微分方程。它是二階微分方程m=F (x, ) 經(jīng)過降階的方法處理得到的。如果把x 當(dāng)作橫坐標(biāo)，v (=) 當(dāng)作縱坐標(biāo)，則x -坐標(biāo)平面就叫作相平面。這時，質(zhì)點(diǎn)在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)（一定的位置和速度）就對應(yīng)于相平面上的一個點(diǎn)，這個點(diǎn)叫作相點(diǎn)。在給定一組初值條件x0，v0（對應(yīng)相平面上的一個初相點(diǎn)）以后，可求出一階微分方程式的一個解，它對應(yīng)于這個相平面上過初相點(diǎn)的一條曲線，這條曲線叫作相軌道（或相曲線）。一般來說，經(jīng)過某相點(diǎn)只有一條相軌道，有多條相軌跡經(jīng)過的點(diǎn)是奇點(diǎn)。系統(tǒng)所有可能的相軌跡的集合叫作相流。通過對相平面上相軌跡的分析，可以了解質(zhì)點(diǎn)的某些運(yùn)動特征。相平面方法的優(yōu)點(diǎn)是幾何直觀性強(qiáng)。在相圖中失去的是x(t) 和(t) 隨時間變化的信息，得到的是有關(guān)動力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動的全局概念，給出的是其軌線形態(tài)的類型及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題。例如，彈簧振子的無阻尼自由振動和弱阻尼自由振動的相圖分別如圖1和圖2所示。

圖1 無阻尼情況的相平面圖

圖2 有阻尼情況的相平面圖

人們對非線性振動并不陌生，有些課題早已開始研究并日趨成熟。例如，自激振動理論早已應(yīng)用于鐘表、電鈴、內(nèi)燃機(jī)的調(diào)速器及電子振蕩電路中。隨著高速運(yùn)動的發(fā)展，自振理論又應(yīng)用于如何防止汽車車輪的跳動，飛機(jī)機(jī)翼的顫振，機(jī)床的自振等方面。又如，參數(shù)振動的研究既是古老的課題，也是當(dāng)代科學(xué)的前沿。在航天器中，液體燃料自由面的振蕩是一種參數(shù)振動，而這種振動對飛行的影響是前沿課題。對圓柱形容器中的液面，在上、下鉛直振動時發(fā)生的參數(shù)振動，早在1831年法拉第就研究過，現(xiàn)在卻成了熱極一時的混沌現(xiàn)象的例子。

必須說明的是，一個線性系統(tǒng)受到一個不是位移或速度的非線性函數(shù)的隨機(jī)策動力作用時所作的振動，不屬于非線性振動。研究線性系統(tǒng)受到這種隨機(jī)外力作用下的振動響應(yīng)是自動控制的基礎(chǔ)。

另一方面，一個線性系統(tǒng)受到非線性策動力作用所作的運(yùn)動，最燃極其復(fù)雜，但卻不可能導(dǎo)致混沌的發(fā)生。因?yàn)榛煦绗F(xiàn)象的根源在于系統(tǒng)本身的非線性特征。而一個非線性系統(tǒng)，即使受到策動力的作用，在一定條件下也有可能出現(xiàn)混沌。

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