1 引言

NorSand模型的材料屬性分為三部分：第一部分是臨界狀態位置參數CSL，第二部分是塑性Plasticity參數, 第三部分是彈性Elasticity參數。如果按照本構模型來劃分，第一部分和第二部分構成了材料的強度Strength屬性，而第三部分構成了材料的剛度Stiffness屬性。本文主要討論了NorSand模型剛度屬性即彈性參數的輸入及其參數值的選擇。 

2 彈性參數

NorSand模型的彈性參數使用剪切模量G(Elastic shear modulus)和體積模量K(Elastic bulk modulus)來表示，如下式所示。應當注意，不同的數值模型改進方法可能使用了不同的符號表示，本文以FLAC3D術語為主。

其中

G_ref---shear-reference, 參考剪切模量(reference shear modulus)，即彈性剪切模量的比例常數(Scaling constant for elastic shear modulus)

p---當前的平均壓力(Current mean pressure)

p_ref---pressure-reference, 參考壓力(Reference pressure,默認為標準大氣壓力100kPa)，即初始平均應力(Initial mean stress)

m---exponent, 材料常數，彈性剪切模量的冪(Exponent for elastic shear modulus, exponent of pressure dependence defining elasticity)，0≤m≤1, 默認值為1.0

v---poisson， 材料常數，彈性泊松比(Elastic Poisson's ratio), 默認值為0.2

下面考慮兩種極端情況：

(1) 當m=0時，G=G_ref, 相當于一個恒定的彈性剪切模量；

(2) 當m=1時，G=(G_ref/p_ref)p, 相當于彈性剪切模量是線性變化的，具有恒定的剪切剛度Ir=G_ref/p_ref

因而在原始的NorSand模型【原始Norsand模型的參數回顧(Jefferies's Excel VBA code)】中，彈性參數需要輸入三個：Ir, p和v。

3 不同軟件的改進方法

如前文所述，NorSand最初是在EXCEL中運行的，從1995年開始在數值模擬軟件中改進，先后包括在FLAC, Plaxis, RS3, Sigma/W等軟件中，下面簡要總結了這些改進的數值模型彈性參數的輸入方法。

(1) FLAC2D/FLAC3D輸入

FLAC3D使用了默認的p_ref值(100kPa),因此需要輸入的彈性參數為G_ref, m和v。

zone cmodel assign norsandzone property shear-reference 2.097e4 exponent 0.47 poisson 0.15

(2) RS2/RS3輸入

RS3使用了原始Norsand模型的參數G_ref(Shear Modulus at Reference Pressure), p_ref(Reference Pressure for shearModulus), m(Modulus Exponent), v(Poisson's Ratio) 以及閾值最小剪切模量(Minumum Shear Modulus)。 

(3) Plaxis和Sigma/W輸入

Plaxis和Sigma/W的輸入參數與RS3相同，只是使用了不同的符號表示。

4 選擇典型的參數值

對任何數值模擬來說，輸入參數值直接決定了模擬結果。下面簡要討論了NorSand模型典型的參數值。

(1) Ir的取值。Ir=G_ref/p_ref，如果取p_ref=100，那么Ir=0.01G_ref, Jefferies在最初對FLAC的改進中，建議Ir=100~800。可以看出，由于應力水平的影響，Ir的范圍值很大。在最新版的《Jefferies, M., and K. Been (2015) Soil liquefaction: a critical state approach》中，建議Ir=100~600，進一步縮小了這個值的范圍，在沒有實測值的情況下，可以取其平均值300~350，從而可以求出G_ref=100Ir。

(2) m的取值。0≤m≤1, 在FLAC3D中，默認值為1.0。如果沒有實測值，則一般取m=0.5。

(3) v的取值。Jefferies建議泊松比的值域為0.1~0.3，進一步對砂來說可取v=0.15~0.25，對Fraser River Sand(Fraser River是加拿大一條非常著名的河流), 可取v=0.2, m=0.47(數據來自于GeoStudio)。

5 剪切模量計算

由上述討論可知，最難輸入的參數值是剪切模量G_ref，小應變的剪切模量可以在實驗室中通過bender elements求出(ASTM D8295-19)。但在工程中，更廣泛使用的方法是通過地震剪切波速(seismic shear wave velocity)來獲得剪切模量。使用地震CPT(SCPT)可以獲得剪切波速，然后通過使用下式求出剪切模量：

如果沒有SCPT數據，通過探頭阻力值也可以求出剪切波速，如下圖所示，然后代入上式求出剪切模量。

6 結束語

2022年5月25日，Rocscience將要舉辦一場Webinar, 報告題目是"Using Norsand Constitutive Model for Deformation and Stability Analyses Problems(使用Norsand本構模型進行變形和穩定性分析)"，屆時將分享這個Webinar的主要內容。