一、關(guān)于材料的簡化

在彈塑性力學(xué)中，經(jīng)常要作一些假設(shè)，實際上這些假設(shè)就是重要的簡化。例如假設(shè)物體是連續(xù)的，因為只有物體是連續(xù)的，物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移才可能是連續(xù)的，從而才可能用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們。又比如假設(shè)物體是均勻的、各向同性的，而且在物體中無初始應(yīng)力，即認為整個物體所有各部分的彈性或塑性性質(zhì)都是相同的，并不隨著坐標位置的改變而發(fā)生變化，這樣，使分析和計算大為簡化。在彈塑性力學(xué)中，如小變形假設(shè)，即假設(shè)物體受力以后，整個物體各點的變形都遠小于物體的尺寸也是一種簡化，在此情況下，可不考慮由于變形引起的物體尺寸和位置的變化；在建立幾何方程和物理方程時，可以略去應(yīng)變、轉(zhuǎn)角的二次冪或二次乘積以上的項，使所得到的關(guān)系式都是線性的，從而方便了分析和計算。

二、根據(jù)實驗資料對應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系進行簡化

研究應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系時，材料的單向拉伸曲線是基本依據(jù)，在分析問題時，應(yīng)抓住問題的本質(zhì)，對材料的單向拉伸曲線進行簡化。簡化的前提是該模型必須和所研究的材料符合較好，而且數(shù)學(xué)表達式簡單。根據(jù)實際問題中常遇到的材料，經(jīng)常采用以下一些簡化的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系模型，即：線彈性模型、非線性彈性模型、理想彈塑性模型、線彈性線性強化模型、剛塑性模型、冪強化模型和脆塑性模型。

在彈性力學(xué)中，線彈性力學(xué)模型獲得了很好的應(yīng)用。這時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律，而且彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小而變化。因為在許多工程問題中變形都比較小，符合小變形的假設(shè)，所以計算結(jié)果和實際情況符合較好。對于非線性彈性力學(xué)，由于涉及大變形問題，求解具體問題比較復(fù)雜，所以至今能求解的問題很少。在塑性力學(xué)中，經(jīng)常將復(fù)雜的拉伸曲線簡化為理想彈塑性材料模型進行研究，這個模型雖然比較簡單，但由于需要區(qū)分彈性和塑性兩個不同的區(qū)域進行研究，具體分析時仍比較復(fù)雜，所以只在一些簡單問題中獲得了解析解。由于剛塑性材料的計算模型簡單，所以在結(jié)構(gòu)塑性極限分析和金屬塑性成形的問題中獲得了廣泛的應(yīng)用，而且得到了許多有價值的理論分析成果。

在研究具有強化性質(zhì)的材料時，采用冪強化材料模型是比較方便的，因為它的數(shù)學(xué)表達式簡單。在加載過程中不需要按彈性區(qū)和塑性區(qū)去進行分析，因而便于應(yīng)用。在采用各種變形體模型分析問題的過程中，將單向拉伸曲線推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變曲線，即采用單一曲線假定具有重要意義。這一簡化在比例變形情況下有實驗依據(jù)。

三、求解彈塑性力學(xué)問題簡化方法

1. 線彈性力學(xué)問題的求解

在彈塑性力學(xué)中，為了能通過已知量求出應(yīng)力、應(yīng)變和位移等未知量，首先要從問題的靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面出發(fā)，建立這些未知量所滿足的彈性力學(xué)基本方程和相應(yīng)的邊界條件。在幾何學(xué)方面要求物體在變形前和變形后都是連續(xù)的，據(jù)此建立起位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。在靜力學(xué)方面主要是建立物體的平衡條件，反映這個規(guī)律的數(shù)學(xué)方程有平衡微分方程和載荷的邊界條件。在物理學(xué)方面則要建立應(yīng)力與應(yīng)變或應(yīng)變增量之間的關(guān)系，在線彈性體中，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，這就是大家熟知的廣義胡克定律。

在線彈性力學(xué)中，平面問題比較簡單，在此情況下，有3個應(yīng)力分量、3個應(yīng)變分量和2個位移分量，一共有8個未知函數(shù)。而已有的是8個條件，它們是2個平衡方程、3個幾何方程和3個物理方程，因而問題是有解的。但是，這里所遇到的問題是要聯(lián)立求解5個微分方程和3個代數(shù)方程，在數(shù)學(xué)上仍會遇到許多困難。因此，發(fā)展了一個用應(yīng)力函數(shù)求解彈性力學(xué)平面問題的方法。所謂應(yīng)力函數(shù)方法就是要找到一個函數(shù)，這個函數(shù)滿足平衡條件又滿足變形協(xié)調(diào)條件以及物理條件，所以只要這個函數(shù)能滿足問題邊界條件，則用這個函數(shù)表示的應(yīng)力，便是所要找的應(yīng)力。有了應(yīng)力便可以通過應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系找出應(yīng)變，最后再通過應(yīng)變與位移的關(guān)系找出滿足位移邊界條件的位移。

2. 彈塑性力學(xué)問題的求解

在彈塑性力學(xué)中本構(gòu)關(guān)系的研究卻要復(fù)雜得多。首先彈塑性體的本構(gòu)關(guān)系中，應(yīng)力和應(yīng)變之間已經(jīng)沒有一一對應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)變的大小不僅與載荷有關(guān)，而且與變形歷史有關(guān)。在具體求解邊值問題時，往往遇到許多數(shù)學(xué)上的困難。在塑性力學(xué)求解問題中，對屈服函數(shù)進行簡化具有重要意義。從計算角度來看，當主應(yīng)力大小次序為已知時，應(yīng)盡量采用特雷斯卡屈服條件。因為它是一組線性代數(shù)方程式，求解問題比較方便。若采用最大正應(yīng)力屈服條件時，有時使計算過程更為簡化，而計算結(jié)果與用其他屈服條件所獲得的結(jié)果相差并不大。利用這種線性化了的屈服條件計算各種邊界條件的環(huán)板和軸對稱結(jié)構(gòu)，都獲得了很好的結(jié)果。

為此，塑性力學(xué)發(fā)展了許多行之有效的方法，例如，靜定問題求解法、滑移線法、主應(yīng)力法、能量法、參數(shù)方程法、加權(quán)殘值法和界線法等。現(xiàn)選兩種比較成功且經(jīng)常使用的方法介紹如下：

• 靜定問題求解法：這類問題又稱簡單問題。其特點是平衡方程、屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不用使用塑性力學(xué)中的非線性的本構(gòu)關(guān)系便能找出所求的未知量。塑性力學(xué)中的一維問題大都屬于這類問題。例如旋轉(zhuǎn)圓盤、厚壁圓筒、厚壁圓球、實心和空心受扭圓軸、各種截面梁的彈塑性彎曲等，都屬于這類問題。這類問題雖然求解簡便，但在工程實際中卻經(jīng)常遇到，因此很有應(yīng)用價值。

• 界限法：又稱上、下限法，是一種很有應(yīng)用價值的分析方法。由于塑性力學(xué)的物理關(guān)系是非線性的，因而要找到能滿足全部塑性力學(xué)方程的解是非常困難的，因此若能找到滿足一部分方程的解，而又能對這些解的性質(zhì)作出估計，這項工作是很有意義的。在界限法中，將塑性力學(xué)的方程分為兩類：一類包括平衡方程、屈服條件和力的邊界條件，這些條件稱為靜力條件，在這些條件中完全不包括幾何方面的要求。若某一個解能滿足上述的靜力條件，則稱該解為靜力解，用靜力解求得的極限載荷一定比完全解所求得的極限載荷小，最多等于完全解的極限載荷。這里所謂的完全解就是滿足塑性力學(xué)全部條件的解；另一類方程則包括外力所作的功等于內(nèi)部所耗散功的條件以及結(jié)構(gòu)的幾何邊界條件，這里沒有考慮靜力方面的要求，用這種方法求解，稱為機動法。用機動法所求得的極限載荷一般都比完全解所求得的極限載荷大，其中最小的載荷可能與完全解所求得的極限載荷相等。機動法又稱上限法，上限法在金屬塑性成形問題中和板殼塑性極限分析中，獲得了非常廣泛的應(yīng)用，破壞機構(gòu)可以通過實驗方法找到.。最合理的破壞模式也就是和實驗結(jié)果一致的模式。

四、結(jié)論

由以上討論看出，在彈塑性力學(xué)中，從材料、變形規(guī)律和求解問題方法都需要進行合理簡化，因為簡化得合理，才能求得結(jié)果而且所獲得的結(jié)果才會和實際問題吻合良好。學(xué)好彈塑性力學(xué)的主要目的，是把所學(xué)到的知識應(yīng)用到解決工程實際問題，而工程實際問題往往都是非常復(fù)雜的。因此，在學(xué)好彈塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上，要繼續(xù)學(xué)會對復(fù)雜工程問題進行簡化，忽略次要矛盾，抓住主要矛盾，用這一思路去分析問題和研究問題一般都能獲得比較理想的結(jié)果。

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