從大規(guī)模的地質區(qū)域到納米尺度的結構，多孔材料的流動發(fā)生在所有長度尺度上。雖然達西定律已經涵蓋了許多應用，但是在工業(yè)應用中，速度場和壓力梯度之間的關系不再是線性的，達西定律不能提供準確的結果。在這篇文章中，我們將更深入的研究多孔介質中可能出現(xiàn)的不同流動狀態(tài)，以及如何描述它們。

在微觀尺度上模擬多孔介質中的流動

為了更深入地理解流經多孔材料中的流動特征，有必要仔細研究它的微觀結構。這樣我們不僅能更深入的理解多孔材料，也有信心使用宏觀方法來模擬多孔材料中的流動。

下面的動畫顯示了一個大小為 2 cm × 2 cm × 6 cm 的復雜多孔結構，以及使用線性納維-斯托克斯方程計算的流型。

小型多孔塊中的流型。

這些多孔塊中包含低流速和高流速的區(qū)域，也包含根本不發(fā)生流動的區(qū)域。即使結構是不規(guī)則的，當放大另一個位置的相同多孔結構樣品時，其流動特性也是相同的。因此，這被稱為 代表性單元體積（REV）。對代表性單元體積進行平均可以得到宏觀方程，詳見下一節(jié)內容。

為了表征流動并獲得有關宏觀方程的信息，下面幾個數(shù)值很重要：

• 孔隙率 ，描述了孔隙體積與總體積的比率，可以從幾何形狀計算

• 沿流動方向（縱向）下降的壓力 ，可以計算或預定義

• 表觀速度 ，或通過結構的體積流量  (m3/s)，除以總橫截面積 (m2 )

宏觀尺度的流動

達西定律是描述多孔材料流動的基本定律，它最初只是一個經驗定律，后來在理論上由納維-斯托克斯方程推導出來。它描述了速度場 (m/s)與壓力梯度 （Pa）之間的線性關系。

(1)

其中，(m2) 是多孔介質的滲透率， (Pa·s) 是流體的動力黏度。

在規(guī)則結構中，如填充床或粒狀土壤，滲透性可以由 Kozeny-Carman 關系推導：

(2)

其中， (m) 表示有效粒徑（對于球形顆粒，等于球體直徑）。

線性達西定律適用于低速流動。與自由流動一樣，多孔介質中的雷諾數(shù)

(3)

也用于表征流動， (m) 是特征長度尺度。

線性達西定律適用于 ，因此孔隙尺度流動可以被描述為蠕變流，其中慣性力與黏性力相比非常小。地下水流和其他低速和（或）高黏度流動的應用就是這種情況。然而，在大多數(shù)工業(yè)應用中，例如在填充床反應器、過濾器甚至食品工業(yè)中，都涉及到更高的流速，包括黏度非常低的氣流。在這些應用中，僅使用方程1是無法描述的，還必須引入非線性項。這被稱為非達西流，表述如下：

很明顯我們可以看到，等式右側的左項對應于達西定律。對于非線性項，F(xiàn)orchheimer 方程表明，

(4)

其中， 是慣性阻力系數(shù)， 是 Forchheimer（無量綱）參數(shù)。

對于填充床，Ergun 方程非常有用，可以使用以下關系式：

(5)

在高雷諾數(shù)下，與慣性效應相比，黏性效應較小，并且 Ergun 方程中的非線性項占主導地位，被稱為 Burke-Plummer 方程。

這些方程對多孔介質的非線性流動具有了一定的描述性，這在圖表中會更便于觀察。為了更好地觀察，我們以平均粒徑  (mm) 的填充床中速度與壓降的關系為例來說明。在下圖中，Kozeny-Carman 描述了線性極限，Burke-Plummer 描述了二次極限。Ergun 和 Forchheimer 方程都可以描述線性和二次極限，兩者之間的區(qū)別在于是根據方程2 還是方程5 計算滲透率。

Kozeny-Carman、Forchheimer、Ergun 和 Burke-Plummer 關系的比較。

除上述考慮的情況之外，還有一種完全不同的非達西定律用于處理特殊的氣體流動，即氣體分子的平均自由程與孔隙尺寸大致相同的情況。在這種情況下，氣體分子與孔道壁的碰撞比與其他氣體分子的碰撞更頻繁。這就是所謂的滑移流狀態(tài)，其典型應用范圍涉及從納米材料到氣體儲藏建模。這種情況下的滲透率關系為

(6)

其中， 是絕對壓力 (Pa) 和  是高壓下的滲透率 (m2)，相比于分子之間的碰撞，分子與壁的碰撞與可以忽略不計。

Klinkenberg 參數(shù)  (Pa) 取決于多孔介質的滲透率，我們可以在文獻中查到 。

COMSOL 中的多孔介質流模塊包含了所有上述滲透率模型。Forchheimer 和 Kozeny-Carman 方程也可用于支持多孔介質流動的其他模塊。

軟件中滲透率關系的位置。

非達西流，從微觀到宏觀尺度

那么，我們如何將這兩種方法聯(lián)系起來呢？第一個模型（REV）給出了速度對壓力梯度的關系，我們還可以確定孔隙率和滲透率。類似的，我們還可以觀察幾個數(shù)量級的壓降流動行為。由于結構復雜，孔隙結構模擬的計算成本相對較高，因此必須合理的求解。此外，與平均方程（方程2–方程 6）相比，納維-斯托克斯方程本身就更為復雜。

使用宏觀方法可以得到非常好的近似值。達西定律適用于小壓降和低速流動，而 Burke–Plummer 方程適用于大壓降和高速流動。

Forchheimer 方程可以很好地計算過渡區(qū)域。在本文的示例中，將 Forchheimer 方程與來自微觀模型的數(shù)據相擬合，以獲得 Forchheimer 參數(shù) ，該數(shù)據通常是在實驗中確定的。

本文我們從微觀和宏觀層面研究了多孔介質中的流動，并表明了：在各自的適用領域，使用宏觀方法可以得到非常好的近似值。

多孔微通道散熱器的優(yōu)化模型就是使用 Forchheimer 方程模擬的一個工業(yè)應用例子。

本文來自：COMSOL