在模擬輻射傳熱時，我們需要考慮輻射是如何從一個表面發出并被其他表面吸收的，以及表面與表面之間交換了多少輻射。在輻射傳熱建模系列文章的前兩篇中，我們已經討論了發射、反射和透射建模，今天我們將通過介紹角系數的概念，以及計算表面與表面之間輻射傳熱的各種方法，來完成輻射傳熱建模基礎知識的學習。

快速了解角系數

考慮兩個薄且扁平的物體，如下圖所示。假設紅外輻射 (IR) 光可以在這些表面周圍的空間自由傳播。這在真空中是成立的，并且在空氣以及許多其他室溫氣體下也是合理的。對于上述假設的無衰減傳播，可能不合理的情況包括：

• 吸收紅外光的氣體，例如水蒸氣

• 高溫氣體

• 帶有細小分散顆粒的氣體

• 發生化學反應的氣體

在不同溫度下，兩個等溫物體之間會發生輻射傳熱。物體可以被認為放置在一個封閉的環境內，熱傳遞的大小取決于物體的大小和方向，并且只會發生在彼此相對的表面之間。

假設這兩個物體被固定在不同的溫度。除了這兩個物體之外，我們研究的模型中沒有其他任何內容，但我們還需要定義所有未模擬的周圍空間。我們需要定義一個統一的溫度，稱為環境溫度或背景溫度。雖然我們不會明確地模擬這個環境空間，但假設一個溫度恒定的封閉表面通常會很方便。

考慮第一個物體以及它發出的所有輻射。第一個物體發出的輻射熱通量一部分流向環境，一部分流向第二個物體。現在我們引入 角系數 的概念，它是從表面 1 () 到 表面2 ()的輻射比例，寫作 。假設輻射度均勻且沒有中間阻礙面，那么表面1 與表面2的角系數為：

當系統中有兩個以上的表面時，它們有可能相互面對面，因此我們將角系數寫為 ，其中  是模型中所有  個相互作用的表面的指數。在任意兩個表面之間，互易關系： 成立。

注意，如果一個表面是凹的，那么 。此外，到環境的熱通量是通過環境角系數： 定義的。對于封閉的空腔，環境角系數為零。

計算輻射傳熱的三種方法

計算輻射傳熱的三種方法是：

1. 直接面積積分法

2. 半立方體法

3. 射線發射法

1. 直接面積積分法

直接面積積分方法的原理是對所有相對的表面對進行雙重積分。只要表面之間沒有障礙物或陰影，就可以使用它。這種方法已被證明是準確的，其準確度僅由輻射積分階數控制。

這種方法總是滿足互易關系，但如果離散化太低并且網格非常粗，那么對于封閉空腔，環境角系數可能不為零。如果單元很多，直接面積積分會使計算量增大。此外，由于不考慮陰影，它主要用于模擬小凹腔，因此在實踐中很少使用。

2.半立方體法

由下圖我們可以從概念上來理解半立方體方法。考慮一個表面單元，圍繞該單元繪制五個邊界，并將它們均一像素化。然后，將周圍的面投影到這些像素化邊界上，并計算與每個面相關聯的像素，以確定來自周圍面的輻射熱通量以及輻照到該單元的熱通量有多少。對每個表面重復此操作。

半立方體方法將周圍的面投影到一組像素化邊界上來計算輻照度。

通過 z-buffering 可以有效地處理周圍面的陰影，因此計算成本很低。這種方法的單一設置，即 輻射分辨率 控制著像素數。互易關系的精度會隨著輻射分辨率的提高而提高，封閉空腔環境的角系數將始終為零。

3. 射線發射法

射線發射方法適用于存在與角度相關的發射率、鏡面反射率或半透明表面。射線發射法，顧名思義，就是在空間中發出射線。但需要注意的是，這是一種 反向 射線追蹤方法。從每個單元的評估點出發，向外投射一組光線，用于確定該方向的輻照度。因此，可以將這些射線想象成與入射輻射方向相反。這些射線代表來自周圍半球空間的總輻照度的有限采樣。

根據三維半球的離散化說明射線發射方法，輻射分辨率為 4。基礎棋盤格（左）的 16 個圖塊中的每個圖塊具有相等的面積。箭頭指向半球上每個圖塊的角（右）。

光線發射方法有 6 個可以更改的設置以及單元階次。其中最重要的是要理解 輻射分辨率，它定義了光線在半球（三維）或半圓（二維）上的初始分布，如上圖所示，輻射分辨率為 。

該方法首先將周圍環境在三維中細分為  個（或在二維中， 個）圖塊，然后在每個圖塊的角繪制一條射線。這些圖塊中的每一個都具有相同的角系數，這意味著通過努塞爾數類比，每個圖塊在下平面上的投影面積是相等的。對于半圓（二維），如下圖所示，將周圍環境分為  個圖塊，每個圖塊都在平面上具有相同的投影面積。請注意這如何導致光線的角度分布不均勻，如下圖所示。

二維情況下的射線發射方法。半圓（左）的每個扇區在下面的線上都有相等的投影面積。箭頭指向每個圖塊的角（右）。

當射線向外投射時，本質上是查詢來自該方向的熱通量，然后將其與來自相鄰光線的熱通量進行比較。如果按照容差 設置所定義的，熱通量存在差異，那么射線發射方法將在通過細化圖塊數以在這兩條射線之間引入額外的射線，直到達到 最大適應數 選項中指定的數量。當射線撞擊鏡面反射或透射表面時，還會從該表面發射出額外的射線，直到達到 最大反射次數。將最大反射次數的默認值設為 1000 是合理的，除非是計算很多鏡面反射率大于 0.99 的腔內反射。

僅當存在具有與角度相關的發射率的表面時，角相關屬性 設置才適用。與 插值函數 選項相比，默認的全 分辨率設置不僅最準確，而且計算量最大，您可以在其中指定對角度相關函數進行采樣的精度。

首先我們需要研究輻射分辨率 和最大自適應數 來確認獲得對結果的信心，因此了解這些設置之間的相互作用非常重要。讓我們看一個二維示例，并考慮從中心單元射出的射線。應該注意的是，這只是形象化視圖，計算射線本身是不可繪制的。考慮周圍半圓的單位發射率（相當于零反射率）和固定的均勻溫度，這意味著每條射線將看到相同的輻射負載。在這種情況下，即使是最小的輻射分辨率也會給出正確的熱通量。更高的分辨率（更多的光線）不會導致更高的精度，也不會觸發任何自適應。

接下來，我們來看一個小物體。在剛好與其中一個射線方向重合的角度位置上，它也具有單位發射率，但溫度不同。這條射線現在將看到與它的相鄰射線不同的東西，并且角空間被細分，如下圖所示。增加最大適應次數將提高精度，但不需要增加射線分辨率，因為其中一條初始射線已經看到了小物體。射線的這種自適應將發生在對不同射線的不同輻照度的感應上，因此，如果一個單一表面具有輻射通量的空間變化，它也將發揮作用。

引入一個被其中一條光線看到的小物體將導致相鄰空間中的射線自適應。更高的自適應數將提高精度。

最后，我們來看另一個與初始輻射分辨率方向不重合的另一角度位置的小物體。在這種情況下，最大自適應次數是多少無關緊要。第二個物體永遠不會被任何初始射線“看到”。要看到第二個物體，必須提高輻射分辨率。

按照分辨率的定義，如果一個小物體沒有被任何一個初始射線看到，附近的射線就不會進行任何自適應，它將被錯過。這時就需要提高輻射分辨率。

使用輻射組

除了所有上述方法外，我們還可以使用所謂的 輻射組。通過選擇只能相互看到的邊界集可以降低計算成本，尤其是在一個具有多個不同腔體的模型中。但是，必須小心使用組，因為如果分組不正確，它們可能會產生錯誤的結果。

當一組不同的表面看不到其他表面時，使用 組 功能是合理的。左側圖中不同的顏色表示合理的分組。右側的案例不太適合使用組。

其他表面對表面設置

對于包含移動或變形物體的模型，有必要更新角系數，由角系數更新閾值設置控制。默認設置是在每次非線性迭代中更新，這提供了最準確的結果，但可能計算成本高。可以完全關閉角系數更新，這對于一個正在移動或變形的物體（其對角系數的影響可忽略不計）來說是有意義的，也可以定義更新周期或通過用戶定義的表達式更新。

表面對表面輻射接口的角系數設置。

角系數 設置還允許將角系數存儲到磁盤。對于較大的模型，這可以節省時間，但磁盤上模型文件的大小會大大增加，尤其是使用 Hemicube 方法時。該設置只應在幾何體不變的情況下使用。。

如果幾何形函數高于線性，幾何表示設置就會起作用。如果增加離散化，這些選項將考慮單元的曲率。

最后，雅可比矩陣 默認設置為 僅對輻射局部貢獻。自 COMSOL Multiphysics? 軟件 6.0 版本開始，這個默認設置將降低內存使用率并加快求解時間。但是，如果模型是純粹的輻射冷卻并且表面之間的溫度變化很大，它可能會失敗。如果您觀察到不收斂，請將這個設置更改為 包含總輻射的貢獻。

計算和繪制角系數

如果您有幾組表面并想知道它們之間的角系數，這在我們之前的博客文章中已經講過。繪制從一個表面到模型中所有其他單元的角系數有時也很有幫助。這可以通過 elemint(order,expression) 算子對每個單元執行高斯積分的來實現。積分的階次由第一個參數給出，為了評估角系數，我們使用表達式中的 radopu() and radopd() 算子。例如，繪制表達式：

elemint(1,comp1.rad.radopu(S1,0))/intS1(1)/dvol

將逐個單元地計算由積分算子 intS1() 定義的一組表面到模型中所有其他表面的角系數。

變量 S1 應在輻照的表面集上定義為 1，在所有被輻照的表面上被定義為 0。這種類型的示例如下圖所示。通過另外除以被輻照單元的大小，即變量 dvol，我們會得到一個對應于一組表面的輻照強度的圖，如下圖所示。

從一個球體到兩個塊狀物的輻照視圖，這兩個塊狀物部分地相互遮擋。

在這篇文章中，我們研究了模擬無參與介質包圍的表面對表面輻射傳熱的三個關鍵概念。首先，我們研究了由熱表面發出熱輻射的不同方式。接著，我們研究了入射到表面的輻射是如何被吸收、反射和傳輸的。最后，我們討論了角系數以及如何計算和更新它們。有了這些介紹，我們就可以非常自信地對熱輻射問題進行建模了！