在之前的文章中，我們向大家介紹了不同種類的電子能量分布函數 (EEDF)以及它們在等離子體建模中的重要性。今天，我們將通過 COMSOL 案例庫中的一個案例教程，向您演示玻爾茲曼方程，兩項近似接口的使用方法。

編者按：本文 2015 年 4 月 8 日首次發布。現已經更新以反應 COMSOL Multiphysics? 軟件 6.0 版本中的新功能。

玻爾茲曼方程，兩項近似接口簡介

在等離子體模型中，需要電子能量分布函數以及電子傳遞屬性（例如，電子遷移率）。對于最簡單的情況，可以使用麥克斯韋電子能量分布函數和電子遷移率的常數值。然后使用愛因斯坦關系在 COMSOL Multiphysics 中計算其他傳遞屬性。然而，在某些情況下，使用從玻爾茲曼方程的解中獲得的電子能量分布函數并將電子傳遞屬性定義為平均電子能量的函數可能是有利的。但是我們如何獲得這些數據呢？

答案是：使用 COMSOL Multiphysics 中的玻爾茲曼方程，兩項近似接口。COMSOL 案例庫中提供了如何使用此接口的一些示例，其中一個案例是氬氣玻爾茲曼分析模型。為了計算二項近似中的玻爾茲曼方程，需要等離子體的電離度等參數。這些參數是事先未知 的。因此，該過程是一個迭代過程。

該過程首先對參數進行初始估計并求解玻爾茲曼方程。然后，如果需要，將麥克斯韋電子能量分布函數和電子傳遞屬性導入等離子模型。最后，計算等離子體模型，并利用等離子體模型的新參數重新求解玻爾茲曼方程。您可以繼續重復這些步驟，直到達到收斂。

接下來，我們將介紹創建、導出和導入數據到等離子模型的步驟。

電子能量分布函數和電子傳遞屬性

從玻爾茲曼方程，兩項近似接口創建數據

第一步是通過在兩項近似中求解玻爾茲曼方程來創建數據。下圖顯示了用于此步驟的玻爾茲曼方程、兩項近似 接口的屏幕截圖。您需要為電子能量定義一個恒定的最大能量。在我們的示例中，它被設置為 Emax= 100 V。此外，您還需要定義一個平均能量 研究來計算一系列平均電子能量的電子能量分布函數。

下圖顯示了在氬等離子體中計算出的幾種平均電子能量分布函數。該等離子體氣體溫度為 400K，電子密度為 10181/m3，電離度為 10-6，激發態氬原子的摩爾分數為 0.01%。可以看出，電子能量分布函數是電子能量的函數。

在氬等離子體中計算的電子能量分布函數。

下圖描述了使用玻爾茲曼方程，兩項近似接口計算約化后的電子傳輸特性。該數據是平均電子能量的函數。

氬等離子體中約化后的電子傳輸特性。

從玻爾茲曼方程，兩項近似接口導出數據

平均電子能量分布函數必須作為一個由三行組成的電子表格導入等離子模型。第一行（x 軸 數據）必須是電子能量（eV），而第二行（y 軸 數據）必須是平均電子能量（eV）。同時，第三行必須包含分布函數 (eV^(-3/2)) 的值。最后，您需要導出如下圖所示的二維圖。

計算的平均電子能量分布函數的二維圖。這里，x 軸表示電子能量，y 軸表示平均電子能量。顏色用于說明分布函數的值。

單位注意事項：在等離子模塊中，電子能量和電子平均能量的單位為 V，但在內部被視為 eV。因此，這里 V 應理解為 eV。代表電子能量并在其上求解平均電子能量分布函數的額外空間維度的單位為米，但在內部被視為 eV。

如果要用您所需要的格式導出平均電子能量分布函數，請使用參數化拉伸數據集。參數拉伸使用參數（在這種情況下為平均能量）擴展數據集。右鍵單擊數據集 并選擇一維參數化拉伸。

玻爾茲曼方程，兩項近似接口是零維的，并使用額外的維度來表示一維軸上的電子能量。由于額外維度被歸一化為最大能量值，因此必須在導出數據之前使用最大能量值手動縮放。為此，我們可以使用變換數據集。使用變換數據集，可以縮放、旋轉和移動數據集。因此，右鍵單擊數據集 并選擇變換二維。將 x 軸設置為最大能量（本例中為 Emax）。

然后，右鍵單擊 變換二維 數據并選擇 添加要導出的數據。在表達式 窗口中輸入 be.f。選擇文件名并單擊導出。

可以從相應的一維繪圖直接導出傳遞屬性。右鍵單擊一維繪圖中的 全局節點，然后選擇 添加要導出的數據。選擇文件名并單擊導出。

將數據導入等離子體模型

為了將電子能量分布函數導入等離子模型，需創建插值函數。選擇文件 作為數據源并在變元數 字段中輸入 2。單擊瀏覽并導入文件。

完成這個操作后，您可以在等離子模型主節點的電子能量分布函數 設置中選擇插值函數作為電子能量分布函數。如下面屏幕截圖所示。

傳遞屬性的函數，例如電子遷移率和擴散率，也可以作為插值函數導入。本案例中的參數數量為 1。在等離子模型節點中，您可以通過輸入 int2(plas.ebar) 來使用這個插值函數。在這種情況下，int2 是函數的名稱，plas 是接口的標記，ebar 是平均電子能量。