有限元網格劃分的基本原則與通用方法

ansa

2022年4月15日 22:24

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本文首先研究和分析有限元網格劃分的基本原則，再對當前典型網格劃分方法進行科學地分類，結合實例系統地分析各種網格劃分方法的機理、特點及其適用范圍，如映射法、基于柵格法、節點連元法、拓撲分解法、幾何分解法和掃描法等。最后闡述當前網格劃分的研究熱點，綜述六面體網格和曲面網格劃分技術，展望有限元網格劃分的發展趨勢。

引言

有限元網格劃分是進行有限元數值模擬分析至關重要的一步，它直接影響著后續數值計算分析結果的精確性。網格劃分涉及單元的形狀及其拓撲類型、單元類型、網格生成器的選擇、網格的密度、單元的編號以及幾何體素，在有限元數值求解中，單元的等效節點力、剛度矩陣、質量矩陣等均用數值積分生成，連續體單元以及殼、板、梁單元的面內均采用高斯 (Gauss) 積分，而殼、板、梁單元的厚度方向采用辛普生 (Simpson) 積分。

有限元網格劃分基本原則

有限元方法的基本思想是將結構離散化，即對連續體進行離散化，利用簡化幾何單元來近似逼近連續體，然后根據變形協調條件綜合求解。所以有限元網格的劃分一方面要考慮對各物體幾何形狀的準確描述，另一方面也要考慮變形梯度的準確描述。為正確、合理地建立有限元模型，這里介紹劃分網格時應考慮的一些基本原則。

1. 網格數量

網格數量直接影響計算精度和計算時耗，網格數量增加會提高計算精度，但同時計算時耗也會增加。當網格數量較少時增加網格，計算精度可明顯提高，但計算時耗不會有明顯增加；當網格數量增加到一定程度后，再繼續增加網格時精度提高就很小，而計算時耗卻大幅度增加。所以在確定網格數量時應權衡這兩個因素綜合考慮。

2. 網格密度

為了適應應力等計算數據的分布特點，在結構不同部位需要采用大小不同的網格。在孔的附近有集中應力，因此網格需要加密；周邊應力梯度相對較小，網格劃分較稀。由此反映了疏密不同的網格劃分原則：在計算數據變化梯度較大的部位，為了較好地反映數據變化規律，需要采用比較密集的網格；而在計算數據變化梯度較小的部位，為減小模型規模，網格則應相對稀疏。

3. 單元階次

單元階次與有限元的計算精度有著密切的關聯，單元一般具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結構的曲線和曲面邊界，且高次插值函數可更高精度地逼近復雜場函數，所以增加單元階次可提高計算精度。但增加單元階次的同時網格的節點數也會隨之增加，在網格數量相同的情況下由高階單元組成的模型規模相對較大，因此在使用時應權衡考慮計算精度和時耗。

4. 單元形狀

網格單元形狀的好壞對計算精度有著很大的影響，單元形狀太差的網格甚至會中止計算。單元形狀評價一般有以下幾個指標：

單元的邊長比、面積比或體積比，以正三角形、正四面體、正六面體為參考基準。
扭曲度，單元面內的扭轉和面外的翹曲程度。
節點編號。節點編號對于求解過程中總剛矩陣的帶寬和波前因數有較大的影響，從而影響計算時耗和存儲容量的大小。

5. 單元協調性

單元協調是指單元上的力和力矩能夠通過節點傳遞給相鄰單元，為保證單元協調，必須滿足的條件是：

一個單元的節點必須同時也是相鄰點，而不應是內點或邊界點。
相鄰單元的共有節點具有相同的自由度性質。另外，有相同自由度的單元網格也并非一定協調。

網格生成通用方法

有限元網格劃分方法難以準確分類，分類方法有很多，可以按產生的單元類型、生成單元的維數、自動化程度等進行分類。

1. 映射法

映射法的基本思想是實際圖形與標準圖形的雙向映射，具體有三個步驟：

根據形體邊界的參數方程，利用適當的映射函數，將待劃分的物理域映射到參數空間，形成規則參數域；
對參數域進行網格劃分；
將參數空間內單元的網格反向映射到歐氏空間，從而生成實際的網格。

這種網格控制機理有以下幾個缺點：

映射法不是完全面向幾何特征的，所以很難完成自動化，尤其是對于3D區域；
網格局部控制能力差；
各映射塊之間的網格密度相互影響程度很大，改變某一映射塊的網格密度，其它映射塊的網格都要做相應的調整；
對于形狀較為復雜的形體適應性差，要求事先根據所要產生的網格類型將目標域分割成一系列可映射的子區域。子域分解繁瑣，所需人工交互多，難以實現網格自動的生成。

2. 基于柵格法

基于柵格法也叫空間分解法。該算法的基本流程是：

首先，用一組不相交的柵格覆蓋在物體之上，既可在柵格的規則點處布置節點，也可在柵格單元中隨機布置節點；
再對柵格和物體進行相交檢測，保留完全或部分落在目標區域之內的柵格，刪除完全落在目標區域之外的柵格；
然后，對與物體邊界相交的柵格進行調整、剪裁、再分解等操作，使其更準確地逼近目標區域；
最后，對內部柵格和邊界柵格進行柵格級的網格剖分，進而得到整個目標區域的有限元網格。

3. 節點連元法

節點連元法一般分為兩步：

在物體的邊界和有效區域內按照網格密度的要求均勻布點；
根據一定的準則將這些節點連接成三角形或四面體網格。

4. 拓撲分解法

拓撲分解法首先是由英國劍橋大學的Wordenwaber 提出來的。拓撲分解法是從形體的拓撲因素著手進行分割，而不過問元素的具體形狀。首先，假設網格頂點全部由目標邊界頂點組成，那么可以用一種三角化算法將目標用盡量少的三角形完全分割覆蓋。

5. 幾何分解法

幾何分解法最大的特點是節點和單元同步生成。該方法較多地考慮了待分域的幾何特征，確保生成質量較好的網格單元。

6. 掃描法

掃描法是將離散化的基本單元形體進行旋轉、掃描、拉伸等操作，獲得高維網格的一種方法。這種方法難度較低，容易實現，在當今大多數商用CAD軟件和有限元前置處理軟件中均有這種功能。但是這種方法只適合于形狀簡單的三維物體，且主要靠人機交互來實現，自動化程度低。

研究熱點

近年來，有限元分析在各種工程領域中得到了廣泛的應用，網格劃分技術的理論基礎已日趨成熟。有限元網格劃分的研究領域已由二維平面問題轉移到三維實體，研究重點已經由三角形（四面體）網格轉變為四邊形（六面體）網格，注重網格的全自動生成、網格自適應等研究。

1. 六面體網格劃分

當前，六面體單元網格生成算法主要有映射單元法、單元轉換法、基于柵格法、多子區域法、掃描法和投影法等。

映射單元法：先把三維實體分成幾個大的20節點六面體區，然后使用形函數映射技術把各個六面體區域映射為很多細小的8節點六面體單元。
單元轉換法：通過其他單元轉化為六面體單元。
基于柵格法：首先產生六面體網格模板，將其覆蓋到需要網格化的三維實體上。
多子區域法：分為三個主要步驟，首先將復雜目標域分解為一定數量的簡單子區域，然后對每個子區域進行六面體網格劃分，最后將各個子區域的網格組合成全局網格，從而形成目標域的整體網格。
掃描法：是由二維四邊形有限元網格通過旋轉、掃描、拉伸等操作而形成六面體網格的一種方法。
投影法：是利用良好的四面體網格作為投影網格，通過模板網格節點與待分實體表面關鍵點的對應關系控制投影的路徑與比例縮放情況。