導讀：工程湍流模型概述-下。

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渦流的大小尺度之間存在差異，求解的時候必須同時對兩者進行求解，湍流是一個連續問題，用Navier-Stokes方程描述。因此湍流建模不存在問題。

但是求解數值仿真中的所有湍流尺度的代價非常高昂

• 在數值模擬中解決所有尺度的湍流被稱為“直接數值模擬”(DNS)
• DNS計算量非常龐大，從大小尺度的比例可以觀察得到：

• 并且這些尺度必須在三位模型求解~
• 此外，也要同時求解湍流尺度

因此DNS的求解成本約為雷諾數 的三倍，對于求解高雷諾數流動，其成本非常高。通常只能對非常簡單的域和非常小的雷諾數進行DNS仿真，一般不用于工程仿真。

• DNS：直接數值模擬
• 對所有尺度渦流進行求解
• 無需額外的湍流模型
• 對于實際流動而言，計算量過大

• LES：大渦模擬
• 大渦直接解析，小渦直接建模
• 計算量比DNS少，但在實際應用中往往計算量龐大

• RANS：雷諾平均方法
• 計算湍流信息的平均數，求解時間平均方程

這是工程應用中最常用的方法。應用RANS必須建立模型來解釋湍流效應。

假定我們在上圖位置放置監測點，并記錄信號，比如x方向的速度，可以得到：顯然可以通過這些數據得到平均值和一些波動量：

我們需要某種平均方法可以應用到方程上。

雷諾平均法是通用的平均方法，取監測點在時間和空間上的速度，將其分解為平均速度和波動速度，經過多次反復實驗，來定義平均速度：

如果實驗穩定，就可以用簡單的時間平均代替整體平均，這就是雷諾平均方法的基本原理：用平均場和波動場代替真實的速度場。

將平均速度和波動速度代入Navier-Stokes方程可得：

將平均速度和波動速度代入瞬態Navier-Stokes方程：

這里有一些做平均的規則：

基于以上規則，可以得到雷諾應力項/湍流張量，即：

RANS方程(Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)

與動量方程類似，對流項的時間平均值、壓力項、分子項都是基于平均流動，根據雷諾應力張力得到最后一項附加項，該點的雷諾應力張量未知，因為這是湍流對平均流動的影響。

我們可以將雷諾應力當成接口，應用湍流模型，將上述平均流動方程與湍流關聯起來。

根據定義，雷諾應力張量是對稱的，實際上只有6個獨立分量，而不是9個分量（因為矩陣對角線上端和對角線下端是一樣的）。

RANS沒有在時間和空間上直接求解異常復雜的湍流運動，而是通過時間平均量來求解，最后得到空間尺度、時間尺度、渦流粘度和平均流速。RANS方法雖然簡化了很多過程，但同時在平均過程中丟失了所有湍流信息。因此有必要對湍流進行建模。

RANS方法可能會帶來很大的誤差，誤差的大小取決引入湍流模型的細節，這一問題沒有通用的解決方案，因為湍流模型和湍流建模方法很多。當然仿真結果的準確性還取決于其他方面，包括數值、求解、壁面處理等。

作為CFDer，需要了解湍流以及如何對它們進行建模。

RANS的控制方程中，具有三個動量方程、質量守恒方程、三個速度分量和壓力，同時也有額外的六個雷諾應力分量。獨立變量數超過了方程數，因此無法直接求解方程組。

RANS方程解決這個問題有兩種不同的途徑：

渦粘模型

• 通過引入湍流粘度（渦粘度） 來對應力張量 進行建模，增加流動的混合方式。
• 這種方式應用非常普遍，在所有運行的仿真軟件中，這種方法的使用率約為95%甚至99%。

渦粘模型

• 渦粘模型的關鍵概念是 Boussinesq 假設
• Boussinesq假設認為雷諾應力可以通過湍流粘度 類比為粘性或分子應力：

  其中 表示應變率張量。

因此兩者的關系可以表示為：

需要注意的是湍流粘度 不是流體特性，而是湍流特性。

（后面課程會展開詳細介紹）

雷諾應力模型RSM

相比之下，雷諾應力模型并沒有基于假設，而是直接從Navier-Stokes方程導出了一些二階矩封閉公式。

我們有六個獨立雷諾應力需要與尺度方程結合，還需要渦流尺寸信息及其應力分布。

• 每個未知的雷諾應力都有獨立求解變量，需要求解六個額外的輸運方程和動量方程。
• 計算成本較渦粘模型增加了不少，雷諾應力模型通常很難收斂，對網格質量要求更高。這也是RSM無法在工程仿真產生重要影響的主要原因。

如果流動過于復雜導致前面假設不適用，就需要用到SRS模型。

SRS指的是至少可以求解一部分流域的湍流，并不要求在SRS模型下求解所有的域，也不會求解尺度解析區域中的所有渦流，但至少能夠求解部分流域中的一些渦流。

• DNS：直接數值模擬

在時間和空間尺度上求解所有湍流；隨著雷諾數增加，計算成本極高。

• LES：大渦模擬

求解尺度大的渦流，對小渦流進行建模處理；不穩定，時間步長由最小解析渦流決定。

• 混合SRS模型

結合RANS方法和LES方法的特點。

• 在CFD中使用RANS模型，相對于DNS，將所需的計算能力降低了許多個數量級
• 簡化的同時也會帶來一定的小誤差
• 根據應用場合，RANS可能會對仿真帶來不同程度的誤差，作為CFDer必須找到方法將誤差降到最低。
• 意味著要選擇合適的湍流模型和子模型、高質量的網格、最佳的數值設置
• 如果RANS模型無法解決，則要嘗試從SRS模型下手。

總而言之，湍流本質上是不穩定、不規則、而且是三維的，它們擁有廣泛的時間和長度尺度。

在這些流動中，湍流由Navier-Stokes方程控制，因此原則上我們可以對其進行求解，但是需要求解所有尺度，從耗散到Kolmogorov尺度到平均流動尺度，會導致數值仿真成本太高，不適用于工業應用。

RANS是其中一種方法用于消除湍流尺度，其控制方程為雷諾平均Navier-Stokes方程。為了得到封閉的方程組，需要對這些方程組中的雷諾應力項進行建模，使方程組封閉。