工程實際中經常遇見材料開裂問題。對于受到外力作用的結構，材料的承載力隨著結構的變形發生改變，比如延性材料。因此可以采用連續體塑性力學框架對結構進行分析模擬。但是對于脆性材料，連續體塑性力學盡管可以模擬出結構宏觀的力-位移關系，但是很難模擬出材料的開裂破壞。

為了采用有限元模擬材料的開裂，cohesive單元常被預設在連續體單元之間，通過cohesive塑性或者損傷本構模擬出材料強度下降的過程。但是，這種方式使得裂縫只能在預設cohesive單元的位置開裂。為了更好的模擬連續體單元的開裂，Embedded crack model假設在單元內部存在開裂面，并通過cohesive zone model定義開裂面的本構關系。開裂面的角度通過最大主應力確定。這種方式極大地方便了網格劃分過程。 本文通過3節點CST單元，介紹如何使用UEL子程序在ABAQUS中實現簡單的Embedded crack model。

1. Embedded crack model 的概念

假設有一個三角形單元如下，

在節點1的水平位置施加位移0.05，單元的變形為，

對于延展性良好的材料，上述變形發生時材料發生塑性變形；但是對于脆性材料，單元發生開裂，開裂的效果為下圖，

開裂面上的坐標系存在法向（n）和切向（s）行為。材料發生開裂時，開裂面的本構是非線性的，而其他連續體部分依然是線彈性的。

相比起將整個單元都定義為非線性，這種將非線性開裂面內嵌在線彈性連續體內的方法更接近脆性材料的性質。

2. 開裂面本構關系

連續體線彈性的本構采用Plane strain relation，在大部分有限元參考書中都有介紹，其剛度矩陣為，

開裂面的本構建立在塑性力學框架中，采用了簡單的 tension cut-off 屈服準則。

tn 表示開裂面上法向應力，ft 則是材料的受拉強度，可以表達為，

3. 數值算法公式推導

當開裂發生時，其應變計算為，

和彈性單元不同，這里的應變不再是簡單將應變-位移矩陣B乘以節點位移向量U，而是減去了由于開裂導致的多余位移He。另外需要提到的是，H矩陣的表達式是根據節點開裂角度定義的，如下圖，

開裂面和連續體之間的應力轉換為，

c 和 s 分別是

開裂角度和最大應力的計算為，

通過本構關系計算應力為，

所以，接觸面上的應力可以表示為，

把上式寫為rate形式，

再聯系consistency 條件，

以及associate flow rule

計算得到了塑性因子增量，

把塑性因子增量帶回到前面的式子，可以得到切向剛度矩陣，

將以上公式進行整理，得到算法如下，

FE 模擬結果

單元在受拉時，由于材料開裂導致了強度下降。但是在ABAQUS后顯示時，單元表現出的是變形而不是開裂的狀態，這是CST單元缺陷。

UEL 和 input文件在收費內容中。