尚曉江
仿真xiu
在很多沒有經驗的分析新手看來，有限元分析可能就是一個單純的軟件操作過程。但是新手在學習了一段時間的軟件操作后，在面對實際的工程問題時，還是不知到應當從何處入手，即便去模仿一些類似范例的操作過程，但是也不清楚這樣的操作是否適合于當下的問題。對于算出的結果，也不清楚算到底對不對。當這些林林總總的問題反復出現時，新手們估計已經開始意識到，有限元分析這件事情不能歸結為會操作軟件那么簡單了。
對于工程結構分析而言，有限元分析所求解的問題在本質上就是力學問題，而結構有限元分析的過程實際上就是通過計算機程序來求解這些力學問題的過程。
既然求解的問題都是力學問題
，
那么在計算之前，需要把這個力學問題明確下來，也就是需要弄清楚問題的控制方程，求解域和邊界條件等。
對于3D問題，其實質是求解6個獨立的應力分量（剪應力互等）、6個獨立的應變分量以及3個位移分量的彈性力學問題，這個問題可通過聯立平衡方程（3個）、幾何方程（6個）、物理方程（廣義胡克定律，6個）來求解，相關的方程如下圖所示，其中包含了慣性體力時用于分析動力學問題。
上述問題的方程個數等于未知量的個數，因此問題是封閉的。其邊界條件包括應力邊界條件、位移邊界條件或混合邊界條件。荷載可以是表面力（應力邊界）或3個方向的體積力。
對于彈性力學2D問題，其實質是求解3個獨立的應力分量、3個獨立的應變分量以及2個位移分量的彈性力學問題，這個問題的控制方程包括2個平衡方程、3個幾何方程以及3個物理方程，方程個數等于未知量的個數。荷載可以是體積力或表面力（應力邊界）。
把各種實際工程結構映射為一個力學問題的計算模型的時候，力學概念可以幫助確定應用何種單元類型。比如，梁彎曲問題的彈性力學解答告訴我們，彎曲應力沿橫截面高度實際上并不是線性的分布，尤其是對于跨高比較小的梁構件來說更為明顯，由彈性力學解答可以幫助分析者選擇更合適的單元類型來得到問題的正確解答，比如殼單元或連續體單元而不是采用梁單元。
工程結構中的實際問題通常包括強度、剛度、穩定性、振動等類型，對于力學概念清楚的分析者來說，這些問題是可以很好地映射為一個明確的力學問題的，進而在軟件中用計算模型將這個問題描述出來，這應當是解決工程問題的正確過程。這一過程可以形象地概括為有限元分析過程的“二次映射”，如下圖所示。
在第一次的“映射”過程中，各類工程問題被抽象為一個求解域、控制方程和定解條件都明確的具體力學問題。在第二次的“映射”過程中，通過具體的數值分析模型將待求解的問題描述出來。實際上，經過“二次映射”后，問題已經迎刃而解了。
在上述過程中，力學概念起到了由工程問題到計算模型中間的“橋梁”作用，而計算軟件則是數值分析實現的“載體”。
需要指出的一點是，對于從事研究工作的人來說，如果所研究問題的機理不能用現成的力學理論或方程來描述，那用分析軟件也同樣無法解答，因為分析軟件無非不過是一系列明確的力學問題的求解程序而已。
前文已述及，工程結構有限元分析求解的問題在本質上是力學問題。有限元分析軟件的求解器，本質上是基于有限元方法編制的力學問題的計算程序。
既然有限元分析求解的問題都是力學問題，那么力學概念當然可以為有限元分析的過程提供理論依據和指導。只有把問題的性質搞清楚了，才能調用正確的軟件計算模塊來分析，把問題的求解域和邊界條件弄清楚了，才能正確有效地建立計算模型。
力學概念清楚的軟件用戶
，不僅可以正確地完成分析任務，還可以通過力學概念來避免一些不必要的工作量，并且能夠運用有關的力學概念來驗證分析模型的正確性和有效性。
下面列舉一些力學概念或原理在指導有限元分析中的具體應用。
首先，
彈性理論的一些基本原理對有限元分析及其計算結果的解釋等方面都有指導作用。
根據解的唯一性定理，如果多個分析者計算同一問題時得到不一致的結果，那么這些人中間最多只有一個人的結果是對的。
在彈性理論中，在次要的邊界上可以用圣維南原理，通過靜力等效來簡化應力邊界條件，而這一簡化也同樣為有限元分析中約束和載荷的施加以及結果后處理中剔除加載點附近的應力奇異現象提供了理論依據。
確定邊界條件是有限元分析中的重要一環，在此環節中力學概念同樣可以提供指導。
在確定求解域時，根據平衡條件，可以對整體結構也可選擇結構的任意局部進行分析。因為處于平衡狀態的結構，其各個部分必然都是平衡的。如果選取結構的局部進行分析時，隔離體的邊界條件必須明確且能夠符合實際受力情況。因此，求解域的邊界通常選擇在約束條件比較明確的位置。在計算中常用的對稱性，其實也用到結構力學的對稱性分析的原理。常用的法向對稱包含結構對稱、載荷約束對稱或者結構對稱、載荷約束反對稱兩種情況。對于正對稱問題，在對稱面上反對稱的位移分量為0；對于反對稱問題，在對稱面上，正對稱的位移分量為0。
另一個問題是關于靜力分析和動力學分析如何區分的問題
。目前，一般的做法是首先計算結構的固有頻率，并與荷載的性質進行比較。一般當加載時間多于自振周期的數倍時，即認為是靜力問題。關于這一點，其實可以通過結構動力學解答找到依據。下圖是具有有限上升時間tr的階躍荷載作用下單自由度振動解答。由圖中所示的兩組解答來看，隨著加載時間（上升時間）的增加，結構的動力響應越不明顯。一般而言，超過3倍結構固有周期時，載荷激發的振動將顯著降低，可以作為靜力問題來處理。
對于計算完成后的結果分析、設計改進方面，更需要分析者運用力學概念進行思考。比如：之前有的設計人員在進行有限元分析后，發現梁的強度不滿足設計要求，于是對梁進行了截面的補強，但是由于概念不清楚，甚至是缺乏基本的力學概念，補強板被設置在梁受力的中性層位置附近，這樣實際上根本無法起到補強的效果。由此可知，如果沒有力學概念的指導，有限元分析即使計算得到正確結果，也就無法有效應用于實際。
一般來說，能通過解析方法求解的力學問題十分有限，工程結構分析中的大部分問題需要借助基于有限單元法編制的軟件進行求解。
作為一種數值分析方法，有限元方法的整個求解過程，與求解數學物理方程中的那些經典的解析方法是完全不同的路子。下面的表格列出了力學解析解法和有限元方法之間的區別。
有限元方法是一種物理意義上的近似方法，其求解過程通常包括以下步驟：
①結構離散化。
有限元分析模型由一系列單元組成，這些單元通過公共節點連接起來。
②單元分析。
各單元按照假定的位移模式進行位移插值，基于變分原理建立單元節點力和節點位移之間的關系，即單元剛度方程。
③結構分析。
基于相鄰單元在公共節點上的位移協調條件和節點的平衡條件，建立離散結構體的平衡方程，即總體剛度方程。
④引入邊界條件
，消除總剛方程的奇異性，求得節點位移。
⑤計算其他導出解。基于節點位移，得到支反力、應變和應力等解答。
注意：對于采用等參變換單元，由于采用數值積分技術，因此計算得到的原始應力和應變其實都是單元的數值積分點上的值。
由此可見，有限元方法的求解過程有別于力學的解析方法，分析軟件的用戶需要充分了解軟件的計算原理和實現途徑，否則在分析中可能出現問題。
在應用最多的強度分析中，很多人有一種習慣，就是在計算完成后直接查看應力結果。這個做法在概念上來說是不正確的，有限單元法的直接解答是位移，應力是導出量。因此，在計算完成后，應當首先檢查位移（變形）結果，然后查看支反力（檢查平衡條件和載荷傳遞路徑），最后才是查看應變和應力這些量。如果位移結果不正確，那么應力解答也就變得沒有意義了。一般地，建議應當按下圖所示的順序來查看結果。
對于應力結果的查看和分析，也需要對有限元方法計算應力的過程有所了解。要注意區分單元的應力解答和節點的應力解答，區分未平均的應力解答和平均的應力解答，區分應力集中和應力奇異。否則，就很容易被一些數值計算結果的表面現象所蒙蔽，而得到一個錯誤的認知。比如在塑性分析中，可能會出現應力顯著超出屈服應力的情況，這類問題如果能夠從有限元方法的計算機理入手，就不難得到正確的認知，并采取必要的措施來改進。
除了對有限元方法本身的計算原理有所了解之外，還需要分析者對分析軟件的名詞術語、單元類型和各種規定有必要的了解。
以ANSYS為例，在建模和分析中經常會涉及到坐標系的概念，常見的坐標系包括總體坐標系、局部坐標系、節點坐標系、單元坐標系、結果坐標系等。總體坐標系和局部坐標系用戶各種前后處理操作，可以是笛卡爾坐標系、柱坐標系或球坐標系。節點坐標系作為節點屬性，可以用來定義節點載荷及約束的方向，并存儲計算的節點位移原始解答。單元坐標系作為單元的屬性，除了單元輔助定位外，還可用于定義與方向有關的材料參數。結果坐標系用于顯示結果，比如壓力容器的徑向、軸向、環向應力就可以在圓柱坐標系下查看。
還有就是需要了解分析軟件的求解組織過程，比如ANSYS的Load Step、Sub Step，或者ABAQUS的Step和Increment。對不同的待求問題，需要根據問題的特點來進行求解過程的頂層設計和細節設計。求解過程分成幾個大的階段（加載步），每步又需要細分為多少增量步，這些會直接影響到求解的效率和精度。其他的分析選項設置也應結合分析類型和對應的力學概念，選擇合適的選項。有的用戶不去思考這些問題，一律采用缺省的選項設置，計算出來的結果往往會出現各種問題。
綜上所述，有限單元法求解的問題本質上都是力學問題，力學概念可以對結構分析的全過程提供指導，有限元分析的具體實施過程中，還需要分析者了解算法的基本原理和軟件的相關知識，這些都是做好分析的必要條件。
