保姆級教程|“貌離神合”的海工結構疲勞分析中的S-N曲線和斷裂力學方法
應用S-N曲線方法分析海洋工程結構物的疲勞問題是目前最為常規的計算手段和設計依據。然而工程實踐表明，疲勞破壞案例占到所有結構破壞案例的大多數，遠多于屈服和屈曲，這從側面表明S-N曲線方法可能存在一定缺陷。盡管如此，S-N曲線方法因其直觀且易于工程應用的特點，相信今后一段時期內仍然是海洋工程結構物主流的計算分析方法。
我們也可看到近年來，斷裂力學方法不斷發展。筆者對斷裂力學方法在工程上的應用十分關注，目前的主要應用有：
• 在規范層面，目前船舶行業已經對LNG Type B貨艙要求做裂紋擴展分析；
• 在海工結構（導管架平臺）工程應用層面，工程臨界分析（ECA）也經常得以應用來分析“已知”裂紋，以支持維修決策和制定檢驗方案等等, DNV-ST-0119中，對于浮式風機基礎，視斷裂力學方法為疲勞壽命計算的方法之一。
目前對于疲勞分析方法，應用S-N曲線和斷裂力學方法進行分析，無論從書本、規范還是應用都似乎分得很開，有“不相往來”的感覺。
筆者認為研究學習，理解好兩者存在的關聯，認識斷裂力學分析的一些思路和方法對更好得應用S-N曲線方法、一定程度克服其不足很有幫助。本文從工程的角度總結了一些心得體會，拋磚引玉，僅供大家參考。
寫在前面
本文的思路是從大家熟悉的S-N曲線方法入手，討論應力范圍Δσ的意義并引入應力強度因子，建立其與斷裂力學方法的聯系。再通過一個例子，互驗斷裂力學方法和S-N曲線方法的結果（附Python代碼參考）。主要參考規范DNV-RP-C203以及BS7910。理清一些概念：
• 應力集中系數SCF和應力強度因子K
• ECA和FAD
• 兩種計算方法的聯系
對斷裂力學，筆者自認為還有很多東西沒有掌握，文中難免有誤歡迎大家指正。
S-N曲線方法中的應力和循環載荷下的應力應變曲線
在采用S-N曲線方法考慮下方左圖的普通對接焊細節，一般認為它屬于D Curve至F Curve的細節，對應Fatigue Limit (10^7個常應力循環)的應力范圍約為40~50 MPa，即應力幅值僅為20至25MPa。給人的直觀印象是這個應力水平很低，結構完全 處于彈性狀態。
需要注意的是S-N曲線中的應力范圍Δσ并非“真實”的應力而是“名義”上的應力（或者叫工程應力）。即使采用我們常用的“熱點應力”（t x t有限元網格下的應力插值），它也不是真實的應力，而是一種和D曲線“配合”使用的“計算”應力。這可以從相對最接近真實應力的缺口應力（notch stress）來理解。
規范中（DNV-RP-C203）對缺口應力的表達由下圖所示。采用非常細密的網格來表達焊接材料和母材的連接區域（半徑為1mm的弧線），這樣得到的應力需要結合缺口應力S-N曲線（Notch Stress S-N Curve）來計算疲勞損傷。
可以想象要表達半徑為1mm的弧線，對單元數量和形狀的要求巨大。但其相對比較準確地表達了焊接材料的“幾何形狀”的影響，故可認為其接近真實的應力水平。
下圖中，紅筆給出了規范提出的在名義載荷為1時，各缺口應力的值。可知道缺口應力和熱點應力之間存在2.5倍的關系（即焊接材料的幾何影響）。筆者給出簡單的FE分析，得到的結果和規范很相近。
這樣來看，對于前面的對接焊細節，10^7循環下疲勞極限的名義應力單幅值為25MPa，對應的缺口應力單幅值可以達到25x1.27x2.5=80MPa。（若不采用設計S-N曲線而采用“平均”S-N曲線，名義應力單幅值為35MPa，對應的缺口應力單幅值可以達到35x1.27x2.5=110MPa）
這個100MPa左右的應力似乎仍然在彈性范圍內，但是材料在循環載荷作用下的應力應變曲線和材料本身的拉伸曲線（或者理想彈塑性曲線）是有較大差異的。以32鋼為例，如下圖所示：
從上圖可以看出，在循環載荷作用下，材料的彈性段會大大縮短，“屈服點”會提前，或者說沒有明顯的屈服點，材料在應力還比較低的時候就表現出“塑性”。
下圖顯示了循環載荷下的應力應變曲線可以由試驗通過幾次加載達到“穩定”狀態時確定，且一個試件理論上可以做多組數據點。通過觀察循環載荷下的應力應變曲線可以看出大致在100MPa附近，材料即開始明顯表現出塑性，參考應力應變的公式如下（K為材料系數，約410~600MPa）:
還記得上一節中我們得到的80~110MPa嗎？和這里的100MPa十分吻合，但這不是什么巧合，恰恰反應了一個我們容易忽視和誤解的問題，即疲勞問題，其實質是和局部出現屈服（塑性）密不可分的，雖然從名義應力來看，應力水平還遠低于強度意義上的屈服應力。
理解了這一點，我們就更容易接受和理解斷裂力學的方法和思路了。
下面是一些概念的整理：
a) 應力集中系數SCF
SCF是在彈性假設下，應力水平在“局部”由于“幾何形狀”因素相對宏觀（遠場）的應力升高現象。
σ local = SCF ? σ remote
前面已經提到，用SCF得到的局部應力是一種配合S-N曲線計算疲勞損傷的“計算”應力。并不能反應“真實”的應力情況（尤其是有裂紋發展的情況）。但S-N曲線方法有大量的實驗基礎，結合線性疲勞損傷疊加假設易于理解，工程上實現較為容易、高效，仍然是普遍適用的方法。
b) 應力強度因子K
既然SCF不能反應裂紋尖端的“狀態”，于是科學家們換了個思路，引入了應力強度因子K的概念，以最典型的I型張開裂紋為例，公式為：
式子中σremote為遠場應力，Y(a)為幾何系數，a為裂紋長度。從微觀的角度，裂紋的發展是裂紋端部的金屬“化學鍵斷開”，能量釋放的過程。K的單位是
，是σremote，構件幾何特征，裂紋長度a的函數。
有了K的定義，對于應力循環Δσ就有ΔK：
帕里斯定律（Paris law）把每次應力循環下裂紋的增長da/dN和ΔK聯系起來：
式中C、m、ΔKth 和Kmat都是和材料相關的系數，其中：
ΔKth是一個門檻值，只有當ΔK大于它時，裂紋才會擴展；
Kmat是材料的斷裂韌度，當K的值達到它時，材料的裂紋將不穩定地快速增長。Kmat可由CTOD試驗或者J積分獲得。
規范BS7910，Annex M中給出了典型構件形式K的計算公式，通用的公式和主要意義如下（公式比較繁瑣，系數也一大堆，推薦一款軟件crackwise來做工程計算）。對于特殊復雜構件，K可用奇異單元通過位移外推法進行數值求解。
c) ECA和FAD
ECA (Engineering Critical Assessment) ，即工程臨界評定，是對有焊接缺陷的結構進行斷裂和疲勞失效評定的一種分析。快速入門可查看中國船級社CCS出的《工程臨界評定技術服務指南》。這里做一下簡單的介紹。
簡單來說，ECA做2件事情，第一是判斷構件的強度（韌性）安全性（還記得前面提到的Kmat嗎？），主要方法是用FAD失效評定圖；第二是估計裂紋的擴展。
FAD (Failure Assessment Diagram)，即失效評定圖，是通過判別評定點與失效曲線的位置評價結構安全性（是否會發生不穩定的斷裂）。FAD圖如下：
通過判斷構件的狀態是否在可接受區來評估。其中縱軸是斷裂比Kr，橫坐標是載荷比Lr。
簡單起見，可以這么理解：Kr = K/Kmat, Lr = σ/σ yield (Lrmax = σtensile/σ yield)
d) 兩種計算方法的聯系
這里先說數學上的聯系。把
代入式子
，稍做變形，在一定的Δσ循環下：
看到最后的圖片是不是很眼熟呢，對了它就是S-N曲線的表達式。所以從數學表達上來說，S-N曲線可以理解為是斷裂力學的“積分形式”，從某種意義上是等效的！
需要注意到I是一個對裂紋長度的定積分，它的積分下上限為a_initial和a_critical，其中：
a_initial是初始裂紋長度，計算表明積分結果對它的取值十分敏感。a_critical是裂紋發生不穩定擴展時的長度，計算表明積分結果對它的取值敏感程度不高。
S-N曲線和裂紋擴展曲線
S-N曲線以應力范圍Δσ和循環次數N為變量，一個Δσi對應一個Ni。而裂紋擴展曲線以ΔK和單位應力循環下裂紋長度的變化率da/dN為變量，反應了裂紋擴展的過程，它比S-N曲線多一個變量，即裂紋長度a。可以這么理解裂紋擴展曲線，即它是S-N曲線上每一個點的展開（或“微分”，S-N曲線是積分的結果）。
兩個曲線的特征還有如下對應關系：
• S-N曲線存在Fatigue limit點，即當Δσ很小時，構件不出現疲勞破壞。 這從 ΔKth的角度很好理解，因為只有當ΔKth < ΔK時，裂紋才會擴展。而ΔK正比于Δσ。
• S-N曲線和裂紋擴展曲線具有相同的斜率，只是差一個正負符號。
• 裂紋擴展曲線所分成的I區（裂紋萌生）、II區（裂紋擴展）、III區（裂紋破壞）可以評估得到相對更真實的疲勞損傷情況，比S-N曲線的疲勞損傷線性疊加的概念更合理科學。但同時，采用裂紋擴展曲線需要更深入地考慮載荷循環的先后順序等因素，工作量有相當的增加。
• 同S-N曲線一樣，近年來裂紋擴展曲線的獲得也進行了大量試驗。在實際應用中“設計S-N曲線”是將“平均S-N曲線”向“下”移動兩個標準差來獲得97.7%的“存活概率”（考慮試驗數據呈正態分布）。類似的，“設計裂紋擴展曲線”也是將“平均曲線”向“上”平移兩個標準差來得到。BS9710推薦的針對焊接節點的單斜率設計裂紋擴展曲線為。
一個來自于規范的例子
DNV-RP-C203, Sec 2.8有一個對于深熔焊的尺寸有一個推薦（如下圖），用來判斷深熔焊根部和焊接趾端兩者誰更容易發生疲勞破壞。由于深熔焊根部的裂紋無法被檢查到，所以設計上要避免它會先于焊接趾端發生疲勞問題。
我們以tp=25mm為例，在設計圖譜上首先選取若干設計點（如下圖綠圈所示）。然后參考BS9710，計算根部裂紋擴展的總循環次數N。
這里需要注意，積分的上下限的設定。根部的裂紋擴展可以認為是從原來的間隙2*ai到0.7*W。參考應力范圍Δσ根據DNV-RP-C203，焊接趾端的滿足G curve，可簡單選取略大于G curve對應10^7循環的應力范圍30MPa （選取的應力不低于Fatigue Limit即可），計算根部的總循環次數是否能大于10^7。筆者編寫了Python小程序來記錄循環次數之比，供參考。
小結和展望
本文討論了斷裂力學分析疲勞的一些重要概念，并結合自身理解說明了其與S-N曲線方法的聯系。斷裂力學方法因為引入了裂紋長度a，能更好的反應實際裂紋從萌生到擴展，最后到破壞的過程。
誠然，斷裂力學計算要比S-N曲線方法要復雜。但同時它也給我們一些啟示。在采用S-N曲線方法是我們知道疲勞的結果對應力水平Δσ的高低很敏感。事實上，一些相同（近）設計的船舶和海洋工程，在相似的環境條件下，有些出現疲勞問題，有些沒有發生。疲勞發生的“方差”是比較大的。斷裂力學的計算表明初始缺陷的取值對結果影響很大。感興趣可以結合附件中第二個小例子試算，下圖的曲線體現了不同的初始缺陷對總循環次數的影響。
焊接的初始缺陷和設計、建造工藝、建造水平、質量保證及控制（QA/QC）和檢驗水平都息息相關。可以說只有把它納入到設計考慮中，我們的疲勞計算才能更接近實際，變得更有意義。
寫在最后
可以預見，當斷裂力學方法不斷應用，并伴隨著建造單位的質量管理不斷進步，可能在未來為疲勞強度理性設計和優化提供客觀條件。比如漂浮式風機的商業化批量建造，就可能需要斷裂力學方法為平臺的優化和減重設計提供重要的設計依據。
附件：參考的BS7910規范和Python程序
BS7910規范：
Welding Toe:
Welding Root:
Python程序1，計算焊接根部root的疲勞循環次數
作者：Simon 仿真xiu專欄作者
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