Johnson-Cook本構模型參數反演

1. 導讀

Johnson-Cook本構模型是由Johnson和Cook通過大量實驗提出來的，常用于鳥撞擊實驗、汽車碰撞、霍普金森桿等沖擊領域。

J-C模型通過上述簡單表達式將材料加工硬化效應、應變率效應和溫度效應解耦，因此非常便于工程應用。J-C模型已內置在Abaqus中，可以直接調用，為材料和結構設計提供了寶貴的技術參數和參考信息。但是，數值模擬的預測能力很大程度上依耐于模型參數的準確性，因此有必要對材料J-C模型參數進行反向確定。

2. 問題描述

圖1為一端固定，另一端單向拉伸的開孔金屬平板。根據加載位移-力曲線反向確定J-C模型的本構參數A、B、n、c、m和彈性模量E。

圖1 開孔平板

3. 結果

首先建立有限元模型獲得虛擬的位移-力加載曲線作為真實參考值，然后基于參考值反向確定了J-C模型的本構參數。反演代碼均為Python語言編寫。

3.1 有限元模型

考慮到反演過程，因此有限元模型使用Python腳本對圖1所示模型進行參數化建模，以方便對反演參數進行更改和調用。有限元模型的長寬分別為160mm、20mm，圓孔的圓心位于板的幾何中心，半徑為5mm。分析步按照等距離進行位移加載，即將總位移6mm均分成100份進行加載。這是為了仿真數據和實驗數據的個數保持相等。如果非等距離加載又該怎么保證數據個數相等呢？（想到了嗎，很簡單的）。分析完成后，通過循環控制提取出整個分析步的位移-加載曲線。

3.2 反演驗證

有了上面建立參數化模型獲取數據的過程，現在終于到了反演這一步了！我們有很多優化算法（遺傳算法、蟻群算法、非線性最小二乘法等）能夠反演模型的參數。但是，不同的算法可能導致優化的不收斂。這個不收斂主要體現在運行有限元軟件時會由于參數搭配不合適致使有限元分析出現不收斂現象。但是請記住，優化算法的收斂速度越快，有限元分析收斂的可能性越小。

單純形法是一個需要更多迭代次數的方法，是比較適合做參數反演的。因此本案例使用單純形法（nelder-mead）反演了J-C模型的參數，如表1所示。由表1可知A、B、n、modulus的反演值與真實值相對誤差較小，而c、m具有較大的誤差。

表1 材料參數統計情況

未知參數	A	B	n	c	m	modulus
真實值	200MPa	230MPa	0.41	0.01	1	200GPa
反演值	194.9MPa	239.8MPa	0.3622	0.0021	0.1593	193GPa
相對誤差	2.55%	4.26%	11.66%	79%	84.07%	3.5%

再來看一下位移與力的曲線關系，圖2為真實與反演的位移-力曲線對比，很明顯反演曲線幾乎和真實曲線重合在一起了。再結合表1，參數c，m誤差較大但并未對結果造成明顯的的影響，這是由于材料屬性對這兩個數不敏感而引起的。因此在參數反演時，我們有必要先對參數的敏感性進行分析，這樣可以減少不必要的優化參數。敏感性分析將在下一期中進行展示，敬請期待！

圖2 反演與真實位移與力曲線對比

由上圖可知，位移-力曲線幾乎重合了，吻合度非常高，那么其反演的應力場和位移場是怎么樣的呢？圖3-圖4分別展示了反演的應力場和真實應力場對比關系，反演的位移場與真實位移場的對比關系，由圖無論是位移還是應力云圖，反演場和真實場的形態分布和數值大小都是非常接近的，這說明了反演結果的可靠性。

圖3 反演與真實應力云圖對比

圖4 反演與真實位移云圖對比

4. 結論

本文通過開孔平板在單軸拉伸實驗下的位移-力曲線反演了Johnson-Cook模型的本構參數和彈性模量，其反演參數結果較為理想，反演與真實的位移-力曲線、位移、應力云圖具有較高的一致性。下一篇推文將繼續介紹本工作的遺留部分-參數敏感性分析，敬請關注。

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