顯式和隱式求解方法是有限元中最為關鍵的知識，對于初學者，可能對其內在的含義還是理解不夠，只是記著“大變形用顯式，線性小變形用隱式”這樣的一般性結論，若是能對顯式和隱式有更深層的理解，對于有限元內在的求解方式將會掌握更好。

ABAQUS和LS-DYNA都可以進行顯式和隱式求解，不同的是，ABAQUS更擅長隱式求解，而LS-DYNA顯式求解更強，至于強在何處，就是另外的話了，這里主要是介紹下顯式和隱式的含義。

1、含義

隱式求解，即implicit method，在ABAQUS中， Standard模塊 主要進行隱式求解的計算，在分析步中進行設置；LS-DYNA則使用關鍵字 *CONTROL_IMPLICIT_GENERAL 進行顯隱式的設置。

圖 1：ABAQUS隱式設置

圖 2：LS-DYNA隱式設置

隱式求解的特點是利用迭代的方法求解下個增量步的未知量，即對于一個問題，隱式是將其看作一個整體，進行矩陣的計算，迭代方法一般為Newton-Rapson法，這種可以比作“鯨吞”，因此，隱式求解沒有條件穩定，任何大小的時間增量皆可讓結果在一定范圍內，但由于采用的是迭代的方法，因此有計算收斂性問題。

不同于隱式，顯式求解（Explicit method）,ABAQUS中由Explicit模塊求解，LS-DYNA中默認采用的即為顯式求解方法。顯式求解利用 中央差分法 ，借助多個時間增量完成模擬。顯式只關注前一時刻的狀態，它每一步的求解都是基于前一步的結果，通過預先設置的時間增量來遞推后面的結果，因此說，顯式相當于將一個問題分成很多塊，然后一步步去計算，類似 “蠶食” 。你會發現，上面敘述的時間增量就是很關鍵的東西了，如果時間增量很大，顯式求解偏離真實結果就會很大，一般來說增量必須小于一臨界值，才會提供可靠的結果，顯式有條件穩定，但無計算收斂問題。后面會針對顯式的時間增量進行進一步討論，因為它在求解過程中還涉及到一個質量縮放的概念。

圖 3：顯式和隱式求解增量及求解過程 [江*]

2、區別

總結一下顯式和隱式的區別，如下圖所示。

圖 4：顯式和隱式求解區別

3、顯式質量縮放：

上面顯隱式各自的特點會發現：顯式求解的高精度往往依賴于極小的時間增量，這類似于數學中的積分，自變量劃分的越小，積分結果越精確，這自然產生了一個問題，想得到可用的結果，什么樣的時間增量是可行的呢？

其實，ABAQUS和LS-DYNA中都能根據求解模型選擇自動時間增量，軟件已經幫你計算時間增量，直接求解即可，可是當模型很大時，或者模型某些位置的網格很小，軟件得到的自動時間增量會非常小，顯式求解的速度會非常慢，那有什么辦法解決呢？這里就涉及到顯式求解時間增量的由來了。

在顯式求解中，求解穩定時間增量和系統的最高自然頻率有關，系統沒有阻尼時，穩定極限定義為：

有阻尼時穩定極限定義為：

是最高頻率模態的臨界阻尼部分。可以證明，以逐個單元為基礎確定的最高單元頻率總是高于有限元組合模型的最高頻率。因此，基于單個單元的估算，穩定極限可以用單元長度L和材料波速c重新定義：

因此，單元長度L越小，材料剛度E越大，密度越小，穩定極限越小。通常軟件估算得到的穩定極限就是根據上面的公式而來。

知道了自動時間增量原理，如果模型太大或者某些網格很小時，就可以人為的增大時間增量來加快求解速度，這就叫做質量縮放（質量加速）。

4、質量縮放方法

LS-DYNA中的質量縮放通過關鍵字*CONTROL_TIMESTEP里參數DT2MS實現，設置DT2MS為正值和負值來控制是對整個模型進行質量縮放還是對某些特定的單元進行縮放，詳細的之前在前面的文章中介紹過。

LS DYNA質量縮放

Xue Hao，公眾號：逐夢之xueLS DYNA質量縮放

ABAQUS質量縮放方法類似LS-DYNA，在分析步中進行設置，一般我們設置 半自動質量縮放 類型，如果對整體模型進行縮放，可以給定一個縮放因子；如果只想對模型中時間增量很小的單元進行質量加速，可以人為給定一個目標時間增量值，當模型中有單元的時間增量值小于該值時，就會采用給定的時間增量進行計算。

圖 5：ABAQUS質量縮放設置

那么，這個人為給定的值該如何設置呢？我們上面已經講過，當模型材料確定后，時間增量只和單元尺寸有關，我們參考原始模型的時間增量進行設置即可，ABAQUS有兩種方法可以自動獲取單元的時間增量，

第一是劃分完網格后，在mesh模塊中，選擇verify mesh（檢查單元），可以選擇想要查看時間增量的單元或部件，勾選stable time increment less than選項，點擊高亮，就可以在下面信息面板中看到關于選中單元的時間增量信息，如下圖所示，我們根據這個時間增量值可以在分析步中進行質量縮放設置。

圖 6：查看單元時間增量方法1

第二種方法是全部設置完成后，在Job模塊進行data check，此操作只會進行前處理、模型方面的檢查，并沒有進行計算，然后在monitor里的status file我們可以看穩定時間增量的信息，一般ABAQUS會給定模型中10個時間增量最小的單元的信息，結合這個值再返回分析步進行設置即可。

圖 7：ABAQUS時間增量查看方法2

5、質量縮放標準：

那么啥樣的質量縮放應該是可以接受的呢？一般而言，應保證增加的質量不超過總質量的5%，或者偽應變能與內能的比值在10%以下，我們認為結果可以接受，具體地，在ABAQUS中，在history變量輸出中，我們選中ALLAE和ALLIE兩變量，繪制兩者圖像，然后做比值，如果最大值在10%以下，如下圖，就可以認為質量縮放是合理的。

圖 8：歷史變量（ALLAE和ALLIE）

圖 9：ALLAE和ALLIE繪制及其比值

注意，顯式求解將問題拆解為許多增量進行求解，因此，必須開放 雙精度 ，避免計算過程中的誤差累積。

圖 10：ABAQUS雙精度開放

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