翻譯：上海安世亞太

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前言

靜液壓泵在當今的汽車技術中無所不在，在發動機、變速箱或轉向系統中維持供油。觀察到輸油量增加的趨勢時，空化的物理現象就會對泵的抽吸流量設定一個自然的極限，這個流量極限的預測對汽車供應商行業是一個挑戰。

本文主要研究葉片泵內空化受限流動的數值模擬方法。通過一個2D可行性研究，論證了非定常可壓縮流動、動網格和利用FLUENT中的空化模型等多種CFD技術的結合。對3D水力模擬的發展進行了研究，并討論了3D液壓模擬與1D液壓模擬的關聯。

 

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理論與假設

靜液壓泵是容積泵。泵運行時要抵抗液壓阻力（即流體消耗裝置），會使用幾何位移原理將流體從低壓級（泵的吸入側）輸送到高壓級（泵的壓力側）。泵的基本部件由幾個腔室或葉片單元組成，這些腔室或葉片單元通過機械連接在一個旋轉軸上，并在旋轉軸旋轉的同時周期性地改變其體積。流體輸運的整個過程對于每個腔室來說都可以看作是一個熱力循環。在下文中，我們會假定工作介質是密度為U的幾乎不可壓縮的液體。在吸入側，腔室通過開口孔與泵的吸入通道接觸。在腔體體積膨脹的同時，腔體內的壓力略有下降。這就產生一個壓力梯度，該壓力梯度引起一個流場，該流場用液體填充腔室。同時避免了腔室中出現進一步壓降。在準穩態條件下,由伯努利方程（Bernoulli’s equation）可以很容易地推導出進入室內流體的速度v與吸氣通道內壓力p0與室壓p之間的壓降?p=p0-p之間的關系式：等式（1）

假設橫截面A通常是由時間決定的，進入腔內的體積流量為vA。在單元完全充滿的情況下，體積流量vA精確地補償了單元的體積變化率，等式（2）：

體積變化率的階為Vmaxn，其中n表示泵速度（通常以每分鐘轉數-rpm測量），Vmax是最大單元體積。結合等式（1,2）我們可以得出，根據平方，隨著泵轉速n的增加,室壓p減小。在某個臨界泵速下，單元壓力變為零。由于液體不承受正應力（或等效的負壓力），等式(1，2)在較高的泵速度下不再有效。相反地，液體的反應是形成空洞和氣泡。來自等式（1）的臨界速度

是通過設置p等于零得出的。一旦流動達到接近該數值的速度，就會發生空化現象，失去不可壓縮性和準平穩性，流動條件進入高度可壓縮和瞬態狀態。對于密度ρ=0.85 g/cm3且p0=1 bar的液壓油（吸氣通道無液壓損失的理想情況），可得出vcrit=15.3 m/s。
假設有z個排量單位，只要泵速度保持在臨界或特征值以下，泵的時間平均質量流量則為pzVmaxn。遠遠超過這個值，泵的質量流量將在有限的流速下飽和。在泵的設計過程中，當泵的流量基本上偏離其理論值pzVmaxn時，要著重注意泵的特征轉速。這個問題的復雜性比（上面提到的）簡單公式的算法要大得多，因為在空化流中發生了相當復雜的物理過程，比如溶解氣體的蒸發、再冷凝和出氣。因此，估算泵的特性轉速對計算工程是一個真正的挑戰。
當腔室達到其最大容積時，腔室與泵的吸入側和壓力側分離，也就是說，腔室既不與吸入通道接觸，也不與壓力通道接觸（如果忽略任何泄漏間隙的話）。這導致流體的限制和低壓區和高壓區的幾何分離，這是所有靜液壓泵的主要特征，同時也是與諸如水輪機之類的流體動力泵的主要區別。
注意，直接在室內限制階段之后，腔室會再次通過另一個開口幾何截面與壓力側接觸。腔室的容積再次減小，容納的流體被排入壓力通道。
這種泵的原理可以以不同的方式實現。最熟悉的可能是一種活塞泵設計。另一種可能的構造原理是葉片泵。葉片泵的功能在圖4中顯示。葉片將定子和轉子之間的容積分成若干個容積室，這些容積室的容積隨著泵的角度的變化而周期性地變化。

圖4：葉片泵的功能說明

作為示例，每個泵循環具有兩個位移的轉子單元。葉片可以在其狹縫中自由運動，并將定子（環）和轉子之間的容積分成若干個腔室。

 

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數值模擬、實驗與分析 

在過去的產品設計過程中主要依賴于經驗數據，而仿真已經成為設計過程中的重要元素。為了獲得關于實驗的系統必要知識而專門使用大量的原型進行實驗非常地耗時耗力。許多方面可以而且必須在仿真的虛擬層次上進行。因此，在模擬、實驗和分析之間遵循一個很好的平衡策略是很重要的。模擬可能是非常耗時的，因此必須注意，投入不要過量。當然，數值實驗通常比實際硬件上的測量要便宜得多。此外，仿真技術現在變得越來越強大，應用范圍也得到了很大的擴展。需要注意的是，只要不可能從這些數據（數值或經驗數據）導出簡單的模型和視圖，數值數據就可能和經驗數據一樣無用。

確定靜液壓泵流量極限已被證明是關鍵一步。在產品設計過程中，開發工程師需要一種簡單、快速的計算工具來進行純估算。1D建模是滿足這一需求的最有效方法。1D模型具有有限的變量數目，并允許進行詳細的分析。量綱分析可以用來獲得一個問題的規則參數。計算流體力學(CFD)在模型參數確定或模型改進時起到了很好的支持作用。在這種情況下，流量系數是一個非常突出的例子。因此，人最終可以得出一個很好的模型，該模型可以用完全開發的產品的可用實驗數據來驗證。在產品設計的下一個周期中應用該模型可能有助于避免以前的缺點。因此，我們嘗試在這個卓有成效的共生體中采用1D模擬和CFD并行的策略。

 

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CFD 模擬策略

在嘗試用CFD進行全3D葉片泵模擬之前，建議從2D可行性研究開始。原因在于FLUENT中的空化模型可能導致求解器的嚴重收斂問題，這需要長期手動調整求解器的設置。根據我們的經驗，這種情況發生在靜止的3D流中。此外，葉片泵的全面模擬需要FLUENT中提供的幾種模擬技術的組合。首先，我們有一個非定常流動問題。正如我們在第1節中所看到的，靜液壓泵的工作方式是顯式變化的幾何形狀。運動部件的運動不是像渦輪機那樣由純粹的旋轉組成的。因此，不存在運動參考系，其中運動部件處于靜止狀態。動態網格技術的應用是十分必要的。最后，在所注意的泵速度下，工作介質是處于高度可壓縮狀態的流體。

2D模擬可進行各種實驗可能性，而不會占用太多CPU時間。總之，從2D模型開始似乎是在模型建立的早期階段克服最終問題的最佳選擇。

 

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葉片泵2D CFD模型

每個泵循環的一個排量的徑向填充葉片泵的2D CFD模型。網格僅是四邊形形狀，在葉片單元區域采用“map”算法，在定子部分采用“pave”算法（網格單元總數：9549）生成。邊界條件分別用藍色和紅色表示吸力側和壓力側。

圖5顯示了一個徑向填充葉片泵的簡單幾何形狀，每個泵循環有一個排量。幾何形狀的選擇使得它可以很容易地在GAMBIT中生成。位移體積是利用兩個偏心圓來實現的。在這兩個輪廓之間的空間會被葉片分割成室，用極坐標表示的葉片的邊界只是恒定角度的直線。其幾何結構由兩部分組成：一個幾何結構不隨時間變化的定子，即具有徑向吸氣和壓力端口的吸氣和壓力通道；一個由腔室或葉片單元組成的運動和變形部分。兩部分通過非共形接口連接。此外，在界面的定子側，有一層薄的網格單元，它連接幾何形狀的吸力側和壓力側，以保持其連通性（在每個時間步必須有一條從“入口”到“出口”的路徑）。不好的是，這不可避免地會導致模型中的人為泄漏。圖2所示的幾何形狀已用于FLUENT的模型設置中。

 

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網格運動 

網格運動由用戶自定義的函數(UDF)使用動態網格宏DEFINE_GRID_MOTION()定義的。這個UDF使用一個簡單的映射來單獨移動葉片單元區域的每個節點：每個節點可以被視為位于曲線上的一個點。使用極坐標(r, ψ )，內輪廓由轉子半徑r = R = const簡單定義。環的輪廓由徑向位置r=R+h(ψ)定義，其中h(φ)表示作為角坐標ψ的函數的位移曲線。曲線族現在可以定義為等式（4）

其中參數α∈[0,1]列舉族中的單個成員。給定節點的值不隨時間變化。換句話說，α對每個節點起到拉格朗日坐標的作用（類似于連續介質力學的拉格朗日表示）。因此，對于給定的轉子的實際角速度ω=2πn（具有以rpm為單位的n個泵速度），從時間t到時間t+?t的更新通過映射M進行，等式（5）

由于FLUENT使用笛卡爾坐標(x，y)，新節點位置(x'，y')通過一系列坐標變換獲得：等式（6）

借助于等式（4）中給出的關系式進行(r, ψ)→（ψ, α）的變換。等式（6）唯一地定義了網格到自身的自相似映射。

 

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2D CFD模擬：參數設置和數值結果

數值模擬是采用FLUENT 6.2版的上述動網格技術和FLUENT的空化模型進行的。為了簡單化，沒有采用湍流模型，即忽略了網格未解的流動結構和渦流。在第一步中，應用穩態解算器以獲得合適的初始條件。在非穩態模式下，泵轉速在前幾個泵循環期間絕熱開啟，因為使用了邊界條件壓力入口/出口條件。壓力-速度耦合采用SIMPLE算法。所有松弛因子都被設定為0.2-0.3。與利用空化模型的定常流模擬不同，我們進行的非定常流模擬幾乎沒有出現任何收斂問題（如果在能接收的誤差內的演化過程中忽略未預見的解算器發散）。這大概是物理上的原因：空化是一種瞬態現象。因此，不穩定的模擬更有可能成功。圖9給出了一個典型的數值結果，它顯示了當泵流達到準穩態時密度分布的快照。圖中是密度為850 kg/m3的液體、質量分數為10-5級的未溶解空氣的混合物。

密度等值線圖（單位:kg/m3)。泵在4000 rpm泵速時已達到準靜止狀態。我們可以清楚地看到低密度的腔室。腔室發展最快，而葉片單元以其最大速率膨脹。正是在最后一個階段，當膨脹已經再次減慢，室開始與吸力側分離時，室充滿了液體。

 

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1D 液壓模型 

在液壓技術中，用一組常微分方程來描述流體技術系統是常見的。這是由連續介質方程通過積分質量和動量的微分平衡方程在某些指定控制體積上得出的。在此積分公式中，質量和流體速度的空間分布被平均體積和平均面值所代替。從而將連續介質力學問題歸結為一個離散模型。與CFD（它也是原始場理論流問題的離散表示）不同，簡化模型只有很少的自由度，因為任何保持有限空間分辨率的嘗試都省略了。因此，“1D”一詞在某種意義上具有誤導性。我們可以說是零維模型，因為它不再涉及偏微分方程。然而，在通常的說法中，這樣的模型被稱為1D模型，是因為可以通過串行連接許多基本組件（體積、管道、孔口等）來建立大型系統，從而獲得1D信號路徑。

在葉片泵單元的填充率問題中，唯一關心的平衡是單個葉片泵單元的質量平衡。借助于中值定理和正壓狀態方程ρ=ρ（p），質量平衡的積分形式可以重新表述為室壓p的常微分方程：（等式7）

• Ρin：注入流的密度 

• ρcell = ρ(p)： 室內平均密度

• V：注入流平均流速

• A = A(t)：據時間而定的 開口橫切面 (vA =當前體積)

• V = V(t)：據時間而定的室體積

• K = K(p)：室中流體的體積系數 (相互壓縮性)

在液壓技術的語言中，體積V被稱為液壓節點；Ch表示液壓節點的所謂液壓容量。由于液相熱容大，流動輸運可視為等溫的。通常，液壓理論處理的是密度和密度比近似恒定的低壓縮液體，并且在等式 (7) 中出現的密度比被設置為等于1。在我們的實驗中，由于流場的強非均勻性，保持這種區別是很重要的。密度分布如圖3，吸氣通道內和吸氣口處的流體密度為純液體密度ρ0的數量級。因此，假設ρin=ρ0是合理的。對于平均流體速度v，采用了一個有適當流量系數α的簡單孔板方程：（等式8）

對于大多數工業應用，空化流動的主要影響不是液體的蒸發和再冷凝，而是溶解氣體的影響。早在壓力降至液體的蒸汽壓力之前，液壓油中無處不在的空氣含量導致氣泡的形成。此外，一旦離開溶液的氣體很難再溶解到液相中。因此，僅考慮不凝性氣體（空氣）的質量分數不變是合理的（既出于物理原因，也出于簡單的考慮）。在不可壓縮液相和理想氣體分數的假設下，導出了液氣混合物ρ=ρ(p)的簡單狀態方程，由此也可以很容易地導出體模量。對于10-5級的氣體質量分數（FLUENT空化模型中的默認值相當于大氣壓下約1%的空氣體積分數），在從零到一bar的壓力區間內，具有從零到液體密度ρ0的全密度范圍。這完全是等式（7）高度非線性的微分方程得出的。在文中同時考慮了液相的可壓縮性。不過如果只涉及低壓側的吸入流的話，這步也不必要做。

圖12比較了2D CFD結果和1D 模型對泵特性（質量流量和泵轉速）的影響。兩種模型都很吻合。每個CFD數據點都是通過在幾個泵循環中運行非穩態模擬獲得的，其中泵的速度在前幾個循環中絕熱開啟。最后一個泵周期被用來獲得時間平均值。

圖12:循環平均泵流量作為泵速度的函數。在這種情況下，當泵轉速超過3000 rpm時，就會產生空化的限流效應。將1D模型與2D CFD模擬結果進行了比較，結果表明兩者吻合較好。為了清楚起見，已減去了人為泄漏的影響。

 

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總結與討論

總之，我們在2D上證明了利用動網格工具和FLUENT中的空化模型進行非定常靜液泵數值模擬的可行性。計算流體力學模擬對1D液壓模型的確定和改進非常有幫助，因為它可以使人們深入了解流動的細節，而這些細節是無法或很難通過測量獲得的。這使得CFD成為實驗的一個很好的補充。后者并不是可有可無的，因為CFD的使用受到了很大的時間花費和理想化限制。2D模擬已經顯示出很好的物理效應，如靜液壓泵的空化限制吸入流動。在2D CFD模擬和1D模型計算中的另一個觀察結果與實際生活很好地吻合：氣泡和空腔的形成，在空化通過泵的產量的限制表現出來之前。這正好標志著封裝過程的最后一個階段。在位移室中，空化的第一次發生在較早的時間。當每個細胞體積膨脹減速時，空穴開始消失，葉片細胞完全充滿液體。直到泵的速度變得非常高，封裝才會不完全。這與實驗室的觀測結果很吻合，即空化的第一個特征是聲學特征。對質量輸運的限制作用在很久以后才變得明顯。

關于靜液壓泵的設計，目標可以是非常不同的。在軸向或徑向柱塞泵中，需要在排量室中形成腔體，在一定閾值以上，它產生與泵速度無關的泵流量，而不需要電流調節閥。在葉片泵的情況下，空化的限流效應通常發生在低于所需的泵速水平，并且伴隨著有害的效應。因此，確定限流效果明顯的臨界泵速是十分必要的。等式（8）中壓力p0（即吸氣頭）的出現表明吸氣通道內的壓力分布是影響吸氣通道內壓力分布的主要因素。因此，壓力損失必須最小化。然而，對1D模型的分析也表明，吸氣通道內壓力損失的最小化不能平衡葉片單元幾何形狀的奇怪設計。

在未來，從2D到3D CFD這一步是非常必要的。在一個更大的背景下，從填充率的問題來看3D的例子是一個主要的發現。例如，它允許在穩態抽吸通道流動模擬中控制邊界條件的有效性。第5節中概述的網格運動方法也可以應用于3D案例，只要我們具有基于圓環輪廓的解析描述的位移單元的理想化幾何形狀。定子幾何形狀（吸氣和壓力通道和端口）必須從CAD數據中獲取。用“MAP”算法可以很容易地對位移單元進行網格劃分。對于相當復雜的定子幾何形狀，四面體網格是唯一合適的選擇。面臨的挑戰是找到一種折衷的解決方案，以避免以下幾個問題：網格單元總量過大、非共節點網格交界面附近單元質量不匹配以及人為泄漏過大。