Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化

320科技工作室

2021年12月26日 21:58

瀏覽：3615 評論：6 收藏：3

1背景介紹

在量子力學中，一個粒子對應一個在時空中演化的波函數 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖1 ，與經典力學中僅僅具有質量、位置、速度等屬性的點粒子有很大不同。這種"波粒二象性"常常給初學者帶來理解上的困難。我們利用Mathematica軟件對一維情形下的幾個經典量子力學問題進行了數值模擬，包括高斯波包在自由空間的傳播和擴散、遇到剛性邊界時的反射、遇到勢壘或勢阱時的反射和透射，以及在諧振子勢場中的準經典振動。Mathematica具有強大的符號和數值計算功能，以及簡單易用的Manipulate控件，這使得我們可以快速實現代碼并方便地演示結果。我們將展示量子波包在不同勢場中隨時間的演化，這有助于對量子力學的物理圖像和基本概念的理解，也為更進一步的探索提供啟發。

2物理模型和模擬設定

一維空間中，單粒子波函數 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖2 的動力學由薛定諤方程

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖3

描述。在給定空間勢場 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖4 和初始波函數后，波函數的后續演化就完全確定了。為了方便，這里我們取“自然單位”，將方程中的物理常量和取為1。這樣，方程變成，取最簡單的一階歐拉格式，可以寫出差分方程

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖9 ，當時間步長足夠小，差分方程的迭代就可以近似給出薛定諤方程的解。其中，對空間的二階偏導也要用差分格式

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖13

來代替。公式(2)(3)就是數值模擬用到的核心方程。

在模擬中，我們使用高斯波包作為初始波函數。一個歸一化的高斯波包可以寫成

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖14

。容易看出， Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖15 的概率密度是以為中心，以為方差的高斯分布。實際上，其動量表象波函數也具有對稱的形式，概率密度|是以為中心，以為方差的高斯分布。因此，高斯波包具有明確的物理意義，我們可以把它大致想成一個具有坐標 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖22 ，動量的“準經典”粒子，只是其坐標和動量的分布有一定的彌散，體現了量子力學中的不確定原理。我們可以期待它的演化行為既具有一定的“經典性”，也有一定的“量子性”，從而更好地體會量子力學與經典力學的區別和聯系。

為了進行模擬，我們需要合理的邊界條件。我們將高斯波包置于區間 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖24 中，認為區間之外的波函數為零，這相當于把粒子放在的一維盒子中。可以預期，當波包的空間局域性較好，且波包中心距離邊界較遠時，波包的演化與其在自由空間中的演化差別不大，模擬結果也證實了這一點。另外，我們可以對模擬過程涉及的一些特征尺度進行估計。高斯波包具有特征波長 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖26 ，因此空間離散步長需要滿足；其特征能量，在設定勢場時應以作單位；同時，特征能量也給出一個內稟時間尺度，時間離散步長至少要滿足，考慮到一階歐拉格式的穩定性較差， Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖35 需要進一步減小，以迭代穩定為準（可以用波函數是否保持歸一化來判斷迭代的穩定性）。最后，我們設定波包中心初始位于，并觀察其大致移動到這個過程，這樣一來，時間窗口 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖38 ，迭代次數。

3程序設計和代碼實現

利用Mathematica，我們可以得到非常簡潔的代碼實現。值得注意的是，在處理差分方程時，需要把波函數的實部和虛部分開迭代，才能保證穩定性，也就是需要避開復數的計算。我們猜測這與一階歐拉格式的穩定性較差有關。如果改進差分格式，應該可以直接用復數進行計算。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖40

在上面我們已經得到了一系列波函數概率分布的“快照”（每迭代200步記錄一次），使用Mathematica的Manipulate控件，可以很方便地將結果演示出來。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖43

上面的代碼會生成一個可以拖動的動態交互控件，我們可以方便地看到不同時刻的波包形態。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖44

4結果演示與討論

(1)波包在自由空間的傳播和展寬

取 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖45 ，波包就在自由空間傳播，演化過程如下圖所示。我們可以看到波包基本上呈勻速移動，并且在傳播過程中不斷展寬。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖46

實際上，自由空間中的 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖47 可以嚴格解出，容易得到波包的中心位置，波包的方差變化。我們可以把數值結果與理論解進行比較，可以發現還是符合得比較好的，如下面所示。兩者之間的偏差可能來自于邊界條件的影響。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖50

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖51

(2)波包遇到剛性邊界時的反射

在 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖52 處設置一個剛性邊界，例如取時，時，可以看到波包在遇到邊界時強烈震蕩，然后被反射回來。仔細觀察可以看出，波包差不多回到原來的位置，說明這個過程中波包的動能沒有變化，只是動量反號。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖57

(3)勢壘的散射（隧穿效應）

在 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖58 處放置一個寬為，高為的勢壘，可以觀察到波包與勢壘的散射。可以看到，波包與勢壘相互作用后，最終劈裂成了兩部分，一部分是透射波包，繼續向前傳播，另一部分是反射波包，反向傳播回來。這就是量子力學中的隧穿效應，粒子有一定幾率越過勢壘，發生隧穿。如果改變勢壘的形狀，還可以進一步研究隧穿幾率與勢壘形狀的關系。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖61

(4)勢阱的散射

我們將勢壘改成勢阱，就得到波包與勢阱的散射問題。這里是在 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖62 處放置了寬為，深為的勢阱，可以看到，波包遭遇勢阱后發生劈裂，最后也是分成透射波包和反射波包。這表明了量子力學的一維散射問題的一般性：不論是勢壘還是勢阱，對量子波包來說都像一個“障礙物”，有一定的透過率和反射率。這與經典力學是很不相同的，在經典力學里，一個粒子要么動能高于勢壘而透過勢壘，要么動能不足被勢壘反射回來，而勢阱則根本不會成為障礙物。

Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖65

(5)波包在諧振子勢中的準經典運動

令 Mathematica實例——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化的圖66 ，我們就得到了非常熟悉的諧振子勢。非常有意思的是，在諧振子勢中，波包表現得很像“真正的”經典粒子：不但在做周期性振動，而且波包本身不再隨著時間增加而展寬，其局域性得到了很好的保持，而局域性正是經典粒子的重要特性。這種準經典運動的發生并不是顯而易見的，背后有著非平凡的物理，實際上，我們可以認為諧振子勢和高斯波包都具有某種特殊性，它們的“因緣際會”才導致了這一現象的發生。