1 引言

露天采礦邊坡與土木工程邊坡的一個顯著區別是露天采礦邊坡是由連續的臺階組成,因此臺階的設計對邊坡整體穩定性至關重要。在整個設計過程中, 需要使用各種各樣的分析方法和軟件, 從極限平衡法(SLIDE, Slope/W)到連續性的數值分析(FLAC, FLAC3D, RS2)再到不連續的數值分析(UDEC, 3DEC)。通常使用極限平衡法(條分法)分析整體邊坡的穩定性，而臺階的穩定性主要受平面滑動和楔形滑動控制，露天采礦臺階的破壞主要有三種型式: 平面破壞, 楔形破壞和巖石墜落，因此臺階設計(Bench Design)通常以巖石結構數據為基礎，因為使用連續性分析方法(例如SLIDE, FLAC)有時會導致安全系數太小, 不能真實地評價臺階的穩定性, 所以基于平面分析(RocPlane)和楔形分析(SWedge)的概率分析方法是最臺階設計最常用的設計方法。《巖石邊坡工程課程---平面滑動(Planar Sliding/Wedge)穩定性分析(C7)》已經討論了平面滑動的分析方法，這一節課討論楔形滑動(Wedge Sliding)的分析方法。

楔形破壞(Wedge Failure) 是由兩組互相切割的節理面形成的破壞模式，一個楔形體由兩組節理面，邊坡頂面以及邊坡面四部分組成，因而形成一個四面體。楔形滑動的計算原理與平面滑動的計算原理相同，只不過計算塊體的體積以及力的分解更麻煩一些。

2 簡單的教學演示

在通過大量實例照片(采礦工程和土木工程)分析了楔形滑動的原理和計算方法后，給出了一個簡單的教學例子，顯示如何計算楔形滑動的安全系數。

從上圖可以看出，一個楔形體模型由兩組節理面，邊坡頂面以及邊坡面四部分組成。 因此需要輸入這四個面的傾角和傾向。

接著需要輸入兩組節理面的粘結力和內摩擦角以及邊坡高度和巖石密度.

楔形體的剪切強度仍然按照Mohr-Coulomb破壞準則計算：

其中，N是作用在滑面上的法向力，l 是滑落面的長度。

粘結力和內摩擦角值可以根據巖體工程分類RMR來近似估計：

通過上面的輸入，我們可以計算出楔形體的各種屬性值：

楔形體體積=8262.822 m^3

楔形體重量=21483.336 tonnes

節理1的楔形面積=1018.109 m^2

節理2的楔形面積=1026.010 m^2

邊坡面的楔形面積=636.542 m^2

邊坡頂部的楔形面積=819.726 m^2

節理1的法向力=17140.593 tonnes

節理2的法向力=10523.266 tonnes

楔形體的下滑力=11127.830 tonnes

楔形體的抗滑力=19480.543 tonnes

安全系數=1.751

3 分析工具SWedge

然而，真實的工程計算比上面演示的例子復雜得多，因此我們需要使用專業的分析工具。一個工業標準的楔形滑動分析工具是SWedge[Version 4.009 - April 28 2021]。與RocPlane一樣，SWedge能夠進行地下水和錨固分析，也能夠進行概率性分析。SWedge常與DIPS[利用赤平極射投影進行巖石邊坡的運動學分析(Kinematic Analysis)]結合使用。 如果需要了解巖體的應力和應變性能，則必須使用數值模擬軟件3DEC。Swedge是一個快速、交互式、簡單的分析工具，可來評估巖石邊坡表面楔形體的穩定性，楔形體由兩個相交的不連續面, 邊坡面, 頂部面以及一個可選擇的拉伸裂縫組成。Swedge不能計算巖體旋轉或傾覆的安全系數。

Swedge有三種計算類型,第一種是確定性分析(Deterministic), 確定性分析假設所有的輸入參數都是已知的確定數值; 第二種是概率性分析(Probabilistic), 概率分析考慮了節理產狀以及強度值的不確定性, 這就導致了安全系數的分布，從而可以計算出破壞的概率; 第三種是聯合分析(Combinations), 聯合分析可以輸入任意數目的節理產狀, Swedge自動分析所有可能的節理組合.

邊坡的傾向,傾角,高度,巖石密度是必須輸入的參數, 其它參數可以選擇性地輸入。

兩組節理的產狀必須輸入,剪切強度準則及其相應的參數值必須輸入.Swedge提供了三種剪切強度模型: Mohr-Coulomb, Barton-Bandis和Power Curve.

根據上面的輸入信息, 進行確定性分析, 得到安全系數0.9886.

4 概率分析基礎

由于巖石的空間變異性, 其物理參數和力學參數不可能是一個確定的值, 因此在大多數情況下需要作概率分析. 在概率分析中，通過定義輸入參數的統計分布來解釋其數值的不確定性。這些參數可能包括節理產狀, 剪切強度、地下水位等, 通過不同參數的組合產生出安全系數的分布，從這個分布可以計算邊坡的破壞概率。

4.1 抽樣

抽樣(Sampling Method) 決定了當取樣時, 隨機輸入變量的統計分布方式, 在Swedge中, 提供了兩種抽樣方法: 一種是Monte Carlo方法;另一種是Latin Hypercube方法. 這兩種抽樣方法都是利用隨機數的序列來產生隨機樣本。默認的樣本數是10,000. 為了進行概率分析，至少有一個輸入參數必須被定義為隨機變量。蒙特卡洛(Monte Carlo)抽樣技術使用隨機數從輸入數據的概率分布中進行抽樣。

正態分布的蒙特卡洛(Monte Carlo)取樣(1000個樣本)

Latin Hypercube抽樣技術的結果與蒙特卡洛抽樣技術的結果差不多，但使用的樣本較少。該方法基于 "分層 "抽樣，在每個層內隨機選擇, 這使得概率分布的抽樣更加平滑。通常，用Latin Hypercube技術獲得的1000個樣本的分析結果與用蒙特卡洛方法分析5000個樣本的結果相當[Hoek et.al.(1995)]。

正態分布的Latin Hypercube取樣(1000個樣本)

對每個隨機變量產生樣本數。例如, 如果樣本數N=1000，那么將根據每個輸入的隨機變量的抽樣方法和統計分布生成1000個值，然后運行1000次，計算出每組輸入數據樣本的安全系數。

4.2 隨機數

隨機數序列是通過指定一個 "種子(Seed) "值，并將這個種子值輸入 "隨機數生成器 "來生成的。對于一個給定的種子值和一個給定的隨機數生成器，總會產生相同的隨機數序列。不同的種子或不同的生成器，將產生不同的隨機數序列。有兩種設定"種子"值的方法, 一種是偽隨機(Pseudo-Random )抽樣, 另一種是隨機(Random)抽樣. 

偽隨機抽樣在概率分析中能夠獲得可重復的結果。 "偽隨機 "抽樣意味著總是使用相同的 "種子(Seed)"數來生成輸入數據分布采樣的隨機數, 這將導致每次分析運行時（使用相同的輸入參數）對輸入數據分布進行相同的采樣, 破壞概率、平均安全系數和所有其他分析輸出都是可重復的, 這對于演示和實例問題的討論等都很有用處。也可以通過選擇"Specify seed" 自定義種子值而不是使用程序內部的默認值. 每個不同的種子值將產生不同的結果; 而對任何給定的種子值將得到完全相同的結果.  

為了模擬真正的隨機分析，可以選擇隨機(Random)選項。在這種情況下, SWedge將自動生成一個新的種子值(基于計算機的當前時間)，這意味著每次分析將得到不同的結果. 有兩種方法產生隨機數, 第一種是Park Miller方法, 這種方法能夠產生差不多無限的不同隨機數(大約2^31)序列. 第二種是Rand方法, 能夠產生最大32,768 個不同的隨機數.

實際上，選擇哪種隨機數生成器對SWedge的分析結果幾乎沒有影響, 兩種方法都會產生均勻分布在0到1區間的隨機數序列。然而，如果正在產生大量的樣本(例如10000個或更多)，應該意識到，Rand生成器最終會開始 "重復 "相同的數值，這可能會使結果產生一些偏差。一般來說，Park Miller v.3的方法更受歡迎，因為生成的不同隨機數的序列幾乎沒有限制。

5 隨機生成節理方法

SWedge提供了兩種生成節理的方法: 第一種方法基于節理的傾角和傾向Dip/Dip Direction; 第二種方法基于概率密度函數 Fisher Distribution.

5.1 Dip/Dip Direction

如果實際節理產狀的分布是不對稱的(在立體網上呈橢圓分布）, 那么使用這種方法. 這種方法把傾角和傾向作為一個獨立的隨機變量處理, 各自賦予一個統計分布，在統計抽樣過程中，Dip和Dip Direction的生成值之間不存在相關性。下圖是10,000個樣本使用正態分布,標準差10度產生的節理極點圖. 從圖中可以看出, 極點的分布是不對稱的橢圓形。

當定義一個隨機變量(傾角或傾向)時, 可以使用下面的統計分布:

正態分布 (Normal)

均勻分布(Uniform)

三角形分布(Triangular)

Beta分布(Beta)

指數分布(Exponential)

對數正態分布(Lognormal)

伽馬分布(Gamma)

Fisher分布(Fisher)

統計分布的類型與分布參數（平均值、標準差、最小值和最大值）一起定義了隨機變量的概率密度函數。概率密度函數描述了一個隨機變量對該變量的一組假設的、無限的觀測值可能假定的數值的分布。在大多數情況下，可用的數據非常有限，無法決定使用什么統計分布和標準差。因此，當定義一個隨機變量的概率密度函數時，工程師必須經常依靠 "最佳估計"。

盡管有多種分布函數可以選擇, 但是正態分布是巖土工程統計分析中最常使用的分布方法。因此當不知道一個變量的真實分布時，通常假設為正態分布。通過對變量的最小值和最大值進行最佳估計，可以估計出標準差.

5.2 Fisher Distribution

如果實際節理產狀的分布近似圓形，那么使用Fisher分布選項。這種方法將根據Fisher分布隨機生成節理。Fisher分布假設圍繞平均數的三維產狀是對稱分布的，只需要輸入一個參數Fisher K值或標準差來定義分布的變異性。Fisher K值和Fisher分布的標準差是相關的，因此使用其中任何一個參數即可。也可以從DIPS中輸入節理的平均值和Fisher K值. 下圖是10,000個樣本使用Fisher分布,標準差10度產生的節理極點圖. 從圖中可以看出, Fisher分布的結果是圍繞著平均值呈近似圓形分布。

Fisher分布的優點是對于三維方向數據，無論平均值的產狀如何，都能產生出一個圍繞平均值的對稱分布。一般來說，Fisher分布比Dip/Dip Direction方法更值得推薦，因為數據輸入簡單，結果更可靠。我們在3DEC和FLAC3D中生成的離散斷裂網格就是基于Fisher分布生成的.

當產生節理變量時,優先使用Fisher分布; 如果使用Dip/Dip Direction方法, 優先使用正態分布. 

6 節理剪切強度的隨機變量

節理的剪切強度也可以定義為隨機變量. SWedge內置了三種剪切強度模型: Mohr-Coulomb, Barton-Bandis 和 Power Curve. 每一種強度模型對應著不同的輸入參數,  對于每一種強度模型, 都有兩種定義隨機變量的方法: 一種是Parameters; 另一種是Strength. 本筆記主要討論這兩種定義隨機變量的方法.

6.1 Parameters

如果隨機變量(Random Variables)選擇Parameters, 那么可以對強度準則中的每一個參數定義一種隨機分布, 具體來說, 對Mohr-Coulomb準則定義c 和phi; 對Barton-Bandis準則定義JRC, JCS和phir; 對Power Curve準則定義a,b,c,d.

如果使用Mohr-Coulomb強度模型, 可以定義粘結力和內摩擦角之間的回歸系數(Correlation Coefficient). 這個選擇只有在使用Mohr-Coulomb準則時才適用,其它兩種強度模型不能使用這個選項. 

6.2 Strength

如果隨機變量(Random Variables)選擇Strength, 那么抗剪強度(tau)將直接被定義為隨機變量，而不是將強度準則中的各個參數定義為隨機變量。對于一個給定的法向應力，將產生剪切強度的隨機值。剪切強度的統計分布只允許采用對數正態分布(Lognormal )和Gamma分布，因為這些分布只定義為正值，因此確保隨機生成的剪切強度值總是正值。剪切強度的變異系數(Coefficient of Variation) 等于標準差(standard deviation)除以平均抗剪強度。典型的變異系數值為0.15~0.35.

顯然, 使用Strength選項要比使用Parameters選項簡單, 輸入的參數相對要少. 

7 臺階邊坡角

臺階坡面角(Bench Face Angle)BFA由巖石強度、結構以及是否使用控制爆破(最大限度地減少對巖壁的破壞)來決定。BFA可能會在不同的巖石類型和區段中有所不同，但通常在60°至75°之間。根據目前可得到的文獻，回顧了兩個目前正在運行的礦山:

(1) Mount Polley Mine(Likely, BC, Canada)露天礦長大約1665m, 寬大約845m, 深度80 m到300m, 臺階邊坡角為65度到70度. 

(2) Siilinj?rvi Mine(eastern Finland) 露天礦長大約2900m, 寬大約750m, 深大約235m, 臺階邊坡角72度. 

SWedge包括了這樣一個臺階設計功能，允許用戶評估臺階角度范圍內臺階楔形體的穩定性。為此有兩種設計方法可供選擇：邊坡設計的管理方法和定量危險評估方法。通過使用管理方法，用戶能夠評估破壞的楔形體數量和每個臺階角度所需的最小臺面寬度。而對于定量評估，用戶能夠估計形成不同楔形尺寸的可能性(發生概率)和這種楔形將滑動的可能性(滑動概率)，從而提供對不同保護(backbreak)距離破壞概率的估計。這兩種方法都提供了關于臺階破壞的寶貴信息，幫助用戶選擇最佳的臺階角度。

為了克服選擇臺階邊坡角的主觀性, Rogers等人(2020) 使用DFN進行了臺階穩定性分析(Bench Scale Stability Analysis), 不過, 這種方法理論上來說可能更精確一些, 但實際操作起來挺困難。在實踐中，我們經常使用累積頻率分析(CFA),通過可接受的破壞概率來確定臺階的邊坡角度.

在露天開采中，在不影響安全的情況下，臺階的坡角盡量設計得大一些, 發生一些小的巖塊滑落事故是可以接受的, 定期清理就可以, 這比坡角小但剝采率高更經濟。在露天開采設計中，一般接受80%的設計可靠性，這意味著允許20%的楔形體發生破壞。