升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要，但是電感值的選擇并不總是像通常假設的那樣簡單。在 dc - dc 升壓轉換器中，所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助于優化轉換器尺寸與成本，并確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定范圍的輸入電壓下，計算電感值以維持所需紋波電流和所選導通模式的方法，并介紹了一種用于計算輸入電壓上限和下限模式邊界的數學方法。
 

 

導通模式

升壓轉換器的導通模式由相對于直流輸入電流 (I_IN) 的電感紋波電流峰峰值 (ΔI_L) 的大小決定。這個比率可定義為電感紋波系數 (K_RF)。電感越高，紋波電流和 K_RF 就越低。

  (1) ， 其中    (2)
 
在連續導通模式 (CCM) 中，正常開關周期內，瞬時電感電流不會達到零 (圖1)。因此，當 ΔI_L 小于 I_IN 的2倍或 K_RF <2時，CCM 維持不變。MOSFET 或二極管必須以 CCM 導通。這種模式通常適用于中等功率和高功率轉換器，以最大限度地降低元件中電流的峰值和均方根值。當 K_RF > 2 且每個開關周期內都允許電感電流衰減到零時，會出現非連續導通模式 (DCM) (圖2)。直到下一個開關周期開始前，電感電流保持為零，二極管和 MOSFET 都不導通。這一非導通時間即稱為 tidle。DCM 可提供更低的電感值，并避免輸出二極管反向恢復損耗。
 

圖1 – CCM 運行
  

圖2 – DCM 運行

當 K_RF = 2 時，轉換器被認為處于臨界導通模式 (CrCM) 或邊界導通模式 (BCM)。在這種模式下，電感電流在周期結束時達到零，正如 MOSFET 會在下一周期開始時導通。對于需要一定范圍輸入電壓 ( V_IN）的應用，固定頻率轉換器通常在設計上能夠在最大負載的情況下在指定 V_IN 范圍內，以所需要的單一導通模式 (CCM 或 DCM) 工作。隨著負載減少，CCM 轉換器最終將進入 DCM 工作。在給定 V_IN 下，使導通模式發生變化的負載就是臨界負載（I_CRIT）。在給定 V_IN 下，引發 CrCM / BCM 的電感值被稱為臨界電感（L_CRIT），通常發生于最大負載的情況下。

紋波電流與 VIN

眾所周知，當輸入電壓為輸出電壓 (V_OUT) 的一半時，即占空比 (D) 為50％時 (圖3)，在連續導通模式下以固定輸出電壓工作的 DC－DC 升壓轉換器的電感紋波電流最大值就會出現。這可以通過數學方式來表示，即設置紋波電流相對于 D 的導數 (切線的斜率) 等于零，并對 D 求解。簡單起見，假定轉換器能效為100％。
 
根據   (3)、  (4) 和   (5),
 
并通過 CCM 或 CrCM 的電感伏秒平衡  (6),
 
則   (7).
 
將導數設置為零,     (8)
我們就能得出   (9).  
 

圖3 – CCM 中的電感紋波電流

CCM 工作

為了選擇 CCM 升壓轉換器的電感值 (L)，需要選擇最高 K_RF 值，確保整個輸入電壓范圍內都能夠以 CCM 工作，并避免峰值電流受 MOSFET、二極管和輸出電容影響。然后計算得出最小電感值。K_RF 最高值通常選在0.3和0.6之間，但對于 CCM 可以高達2.0。如前所述，當 D = 0.5 時，出現紋波電流 ΔI_L 最大值。那么，多少占空比的情況下會出現 K_RF 最大值呢？我們可以通過派生方法來求得。

假設 η = 100%， 則   (10),  
 
然后將(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
 
 (11)                          
 
  (12).  
 
對 D 求解，可得  (13).

D = 1 這一偽解可被忽略，因為它在穩態下實際上是不可能出現的 (對于升壓轉換器，占空比必須小于1.0)。因此，當 D =? 或 V_IN = ?V_OUT 時的紋波因數 K_RF 最高，如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點的最大值 L_MIN、L_CRIT 和 I_CRIT。
 

圖4 – 當 D =? 時 CCM 紋波系數 K_RF 最高值

 
對于 CCM 工作，最小電感值 (L_MIN)應在最接近 ? V_OUT 的實際工作輸入電壓 (V_IN(CCM)) 下進行計算。根據應用的具體輸入電壓范圍，V_IN(CCM) 可能出現在最小 V_IN、最大 V_IN、或其間的某個位置。解方程 (5) 求 L，并根據 V_IN(CCM) 下的 K_RF 重新計算，可得出

  (14)，其中 V_IN(CCM) 為最接近?V_OUT 的實際工作 V_IN。  
   
對于臨界電感與 V_IN 和 I_OUT 的變化，KRF = 2，可得出
 
  (15).
 
在給定 V_IN 和 L 值的條件下，當 K_RF = 2時，即出現臨界負載 (I_CRIT)：
 
  (16)
 

DCM 工作 

如圖5所示，在一定工作 V_IN 和輸出電流 (I_OUT) 下的電感值小于 L_CRIT 時，DCM 模式工作保持不變。對于 DCM 轉換器，可選擇最短的空閑時間以確保整個輸入電壓范圍內均為 DCM 工作。tidle 最小值通常為開關周期的3％-5％，但可能會更長，代價是器件峰值電流升高。然后采用 tidle 最小值來計算最大電感值 (L_MAX)。L_MAX 必須低于 V_IN 范圍內的最低 L_CRIT。對于給定的 V_IN，電感值等于 L_CRIT (tidle= 0) 時引發 CrCM。
 

圖5 – L_CRIT 與標準化 V_IN 的變化

 
為計算所選最小空閑時間 (tidle_(min)) 的 L_MAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 t_ON(max) (所允許的 MOSFET 導通時間最大值) 與 V_IN 的函數，其中 t_dis 為電感放電時間。
 
  (17)，其中

   (18)
 
可得出
 
  (19).
 
平均 (直流) 電感電流等于轉換器直流輸入電流，通過重新排列 (17)，可得出 t_dis 相對于 t_ON 的函數。簡單起見，我們將再次假設 P_IN = P_OUT。
 
  (20) ，其中  (21).
 
將方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V_IN (DCM) 下的 L
 
  (22).
 
L_MAX 遵循類似于 L_CRIT 的曲線，且同在 V_IN = ?V_OUT 時達到峰值。為確保最小 tidle，要計算與此工作點相反的實際工作輸入電壓 (V_IN (DCM)) 下的最低 L_MAX 值。根據應用的實際輸入電壓范圍，V_IN(DCM) 將等于最小或最大工作 V_IN。若整體輸入電壓范圍高于或低于 ? V_OUT（含? V_OUT），則 V_IN(DCM) 是距 ? V_OUT 最遠的輸入電壓。若輸入電壓范圍覆蓋到了 ? V_OUT，則在最小和最大 V_IN 處計算電感，并選擇較低 (最差情況下) 的電感值。或者，以圖表方式對 V_IN 進行評估，以確定最差情況。
 

輸入電壓模式邊界 

當升壓轉換器的輸出電流小于 I_CRIT 與 V_IN 的最大值時，如果輸入電壓增加到高于上限模式邊界或下降到低于下限模式邊界，即 I_OUT 大于 I_CRIT 時，則將引發 CCM 工作。而 DCM 工作則發生于兩個 V_IN 的模式邊界之間，即 I_OUT 小于 I_CRIT 時。要想以圖表方式呈現 V_IN 下的這些導通模式邊界，在相同圖表中繪制臨界負載 (使用所選電感器) 與輸入電壓和相關輸出電流的變化曲線。然后在 X 軸上找到與兩條曲線相交的兩個 V_IN 值 (圖6)。
 

圖6 – 輸入電壓模式邊界

 
要想以代數方式呈現 V_IN 的模式邊界，首先將臨界負載的表達式設置為等于相關輸出電流，以查找交點：
 
  (23).
 
這可以重寫為一個三次方程，K_CM 可通過常數計算得出
 
  (24)     其中

  (25).
 
這里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三個解可通過三次方程的三角函數解法得出 [1] [2]。在此情況下，x1 項的“b”系數為零。我們將解定義為矢量 V_MB。
 
我們知道
 
  (26)、  

    (27)、   以及

  (28),
 
    (29).
 
由于升壓轉換器的物理限制，任何 V_MB ≤ 0或V_MB > V_OUT 的解均可忽略。兩個正解均為模式邊界處 V_IN 的有效值。
 

模式邊界 – 設計示例 

我們假設一個具有以下規格的 DCM 升壓轉換器：
 
V_OUT  = 12 V
I_OUT  = 1 A
L  = 6 μH
F_SW  = 100 kHz
 
首先，通過 (25) 和 (28) 計算得出 K_CM 和 θ：
 

 
.
 
將 V_OUT 和計算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式邊界處的 V_IN 值：
 
.
 
忽略偽解 (-3.36 V)，我們在 4.95 V 和 10.40 V 得到兩個輸入電壓模式邊界。這些計算值與圖7所示的交點相符。
 

圖7 – 計算得出的模式邊界

結論 

電感值會影響升壓轉換器的諸多方面，若選擇不當，可能會導致成本過高、尺寸過大、或性能不佳。通過了解電感值、紋波電流、占空比和導通模式之間的關系，設計人員就能夠確保輸入電壓范圍內的所需性能。