液體晃動是指具有自由表面的液體被限制在一個有限的容器內，液面做自由或強迫振蕩，涉及船舶、水利、土建、航空、大型化工設備等諸多領域，已引起廣泛重視。目前，主要研究集中于容器內液體的晃動對儲存系統的動態響應，可歸結為兩類：（1）特征值問題。求解各類容器內液體晃動的自然頻率，這是進一步研究液體晃動問題的基礎。（2）在外界有規律的強迫撓動下，容器內液體的反應。數值模擬液體的晃動實際上是用數值方法求解帶有自由邊界的非定常流體的動力學問題，由于自由液面的位置未知，且自由液面邊界條件為復雜的非線性方程，因此具有自由液面的流體的流 動 是 用 數 值方法求解最困難的問題之一。自由液面的數值處理涉及自由液面的離散表達式、自由液面隨時間的變化及自由液面邊界條件的離散表達式３個問題。在土建、水利工程中，常遇到各種形狀的貯液結構，當貯液結構（容器）具有大的空間剛度時，可忽略器壁的彈性變形，將容器近似為絕對剛體。

1.實例分析

考慮一具有正方形截面的剛性含液容器，容器底部固定（圖1）。筒壁高3.3m，液面高度為3m，液面寬度a=2m，流體密度為1000kg/m3，重力加速度為9.81m/s2，流體體積模量2.06GPa。

圖1 正方形截面的剛性含液容器有限元模型

設矩形體的底面長為a，寬為b，液面高度為h，則矩形容器內液體晃動的固有頻率為:

式中，i、j分別為橫截面內兩個相互垂直方向上的半波數。

  通過上面公式獲得的前幾階液體自然晃動頻率的理論解見下表1。采用本文介紹的有限元法計算液體的自然晃動頻率及液面晃動形式，兩種計算方法結果的比較見下表1，有限元所得的液面晃動形式見圖2。

表1 剛性容器內流體自由晃動頻率計算結果比較

液體晃動頻率階次	有限元解/(rad/s)	理論解/(rad/s)	誤差/％
1	3.8026	3.8270	0.6404
2	3.8026	3.8270	0.6404
3	4.5435	4.5447	0.0265
4	5.3403	5.3405	0.0032
5	5.3403	5.3405	0.0032
6	5.5669	5.5739	0.1257

圖2 流體自由表面波動模態圖

由表1、圖2分析可知，流體頻率實際上是由低頻和高頻兩部分組成。低頻部分對應于流體自由表面波動，此時流體動壓力僅在自由表面附近不為零，在流體內部為零。高頻部分則對應于內部動壓力波動，而在自由表面處動壓力為零。若在計算中不考慮流體自由表面波動，則特征值計算的結果僅為高頻部分。

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參考文獻：賈善坡,許成祥,譚繼可.矩形容器內液體三維晃動特性研究[J].水電能源科學,2012,30(01):142-144+216.

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