簡(jiǎn)介

    硫化天然橡膠是一種非線性材料，具有低剪切模量、低彈性模量、幾乎不可壓縮和斷裂伸長(zhǎng)率高的特點(diǎn)。典型的橡膠單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線如下圖所示，我們可以通過宏觀單元對(duì)于橡膠支座進(jìn)行模擬，詳情請(qǐng)看（【JY】基于Rmberg-Osgood 本構(gòu)模型的雙線性計(jì)算），為了探究支座的細(xì)部構(gòu)造與性能，今天給大家?guī)?span style="">橡膠支座精細(xì)化模擬，以及有限元分析中相關(guān)的注意要點(diǎn)。

    名義應(yīng)力是指未變形單位面積上的力，名義應(yīng)變是指每單位未變形長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)。

    從精細(xì)化細(xì)觀中分析，橡膠的超彈性本構(gòu)在曲線在小應(yīng)變（<50%）時(shí)具有較高的彈性模量，在中等應(yīng)變（50~200%）彈性模量降低，在大應(yīng)變時(shí)（>200%）彈性模量又升高，即開始出現(xiàn)硬化現(xiàn)象，而通常宏觀本構(gòu)的使用，通常將中小應(yīng)變下體現(xiàn)出來的宏觀剛度取一致，大變形至>250%，開始考慮橡膠支座硬化。

    在橡膠的變形特點(diǎn)中，橡膠變形后體積基本保持不變，即接近不可壓縮，其泊松比非常接近0.5，一般在0.4985到0.4999。通常采用體積模量K (或修正體積模量Eb)來描述橡膠的體積變形特點(diǎn)，體積模量是指壓強(qiáng)變化與對(duì)應(yīng)體應(yīng)變的比值，（詳細(xì)可見【JY】橡膠支座的簡(jiǎn)述和其力學(xué)性能計(jì)算）

    其中體應(yīng)變?yōu)閱挝怀跏俭w積的變形。隔震支座橡膠的體積模量K(非修正)一般取1000~2500Mpa，建議取1000Mpa。(具體參數(shù)可參照后文表格)

    特別注意，精細(xì)化模型采用的體積模量K(可取1000Mpa)與宏觀單元采用的體積模量Eb=1960Mpa不同，原因是橡膠支座精細(xì)化模擬僅考慮橡膠本體的體積模量K，是由試驗(yàn)測(cè)定的，而宏觀單元中的體積模量Eb并非根據(jù)試驗(yàn)測(cè)定的，而是考慮其與疊層橡膠支座壓縮剛度的一致性而確定的。

    根據(jù)GB 20688.3-2006 橡膠支座 第3部分：建筑隔震橡膠支座可得最后一列體積模量K的參考值：

    用于橡膠分析的超彈性本構(gòu)中，常用的超彈性本構(gòu)模型通常有兩類，基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)理論的分子鏈網(wǎng)絡(luò)模型和基于連續(xù)體介質(zhì)力學(xué)的唯象理論模型。（唯象理論模型：指物理學(xué)中解釋物理現(xiàn)象時(shí)，不用其內(nèi)在原因，而是用概括試驗(yàn)事實(shí)而得到的物理規(guī)律，如果這個(gè)不科學(xué)，那中醫(yī)…）

    為了分析這個(gè)精細(xì)化支座，本推文采用的有限元工具是ABAQUS，基于ABAQUS中，基于唯象理論的超彈性本構(gòu)模型，包括多項(xiàng)式模型中的Mooney-Rivlin 模型，減縮多項(xiàng)式模型中的Neo-Hookean 模型和Yeoh模型，以及Ogden模型。其他模型：Arruda-Boyce模型的參數(shù)是由熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法得到，而Van der Waals模型不適用于大變形，當(dāng)材料的變形大于鎖死應(yīng)變時(shí)，該模型的應(yīng)變能函數(shù)并不適用。其中，neo-Hookean模型和Yeoh模型可視為減縮多項(xiàng)式模型的特例，而減縮多項(xiàng)式模型和Mooney-Rivlin模型則可視為多項(xiàng)式模型的特殊情況。

    目前公認(rèn)的模擬橡膠材料大變形時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變行為最好的模型是Ogden模型。但Ogden模型參數(shù)較多，且物理意義不夠明確，建議采用減縮多項(xiàng)式模型中的Neo-Hookean/Mooney-Rivlin模型模擬100%水平剪切試驗(yàn)，用Yeoh模型來模擬大剪切變形時(shí)橡膠的本構(gòu)關(guān)系，圖為橡膠Ogden、Yoeh和Neo-Hookean模型本構(gòu)示意曲線，其中名義應(yīng)力為按照橡膠初始橫截面面積計(jì)算得到的應(yīng)力值，名義應(yīng)變?yōu)榘凑障鹉z初始長(zhǎng)度計(jì)算得到的應(yīng)變值。Ogden本構(gòu)模型和Yoeh本構(gòu)模型能夠反映橡膠材料大應(yīng)變時(shí)的硬化，Neo-Hookean/Mooney-Rivlin本構(gòu)模型在橡膠大應(yīng)變時(shí)仍保持線性。

（1）多項(xiàng)式模型

    多項(xiàng)式模型的應(yīng)變能函數(shù)，其形式為

    參數(shù)應(yīng)變勢(shì)能階次N為選擇的多項(xiàng)式階數(shù)，Di決定材料是否可壓縮，如果所有Di的都為0，則代表材料是完全不可壓縮的。對(duì)于多項(xiàng)式模型，無論N值是多少，初始的剪切模量和初始的體積模量都僅依賴于多項(xiàng)式第一階（N=1）的系數(shù)，對(duì)于ABAQUS的多項(xiàng)式模型中，

●若應(yīng)變勢(shì)能階次N=1，則為Mooney-Rivlin模型；

●若應(yīng)變勢(shì)能階次N=3，忽略多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的對(duì)I2的偏導(dǎo)并令其為零(即忽略C01)，則為Yeoh 模型。

（2）Mooney-Rivlin模型

    令多項(xiàng)式模型的若應(yīng)變勢(shì)能階次N=1，即為Mooney-Rivlin 模型的應(yīng)變能函數(shù)形式

    對(duì)于大多數(shù)橡膠，C01/C10≈0.05~0.2時(shí)，在應(yīng)變200%以內(nèi)可得合理的近似。

    因此可以根據(jù)上述方式，填寫橡膠參數(shù)進(jìn)行精細(xì)化模擬。其中通過試驗(yàn)滯回曲線初始直線段可得橡膠剪切模量G（G4 ~ G10的橡膠），依據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)G乘以1.2~1.35的放大系數(shù)n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，從而有 

    即可解的Mooney-Rivlin模型的C10、C01、D1。

    由于Mooney-Rivlin模型的應(yīng)變能是不變量的線性函數(shù)，不能反映應(yīng)力應(yīng)變曲線在大應(yīng)變部分的快速上升行為，但能很好地模擬小應(yīng)變和中等應(yīng)變(<200%)時(shí)材料的特性。當(dāng)參數(shù)C01=0時(shí)，簡(jiǎn)化為Neo-Hookean模型（初始彈性模量μ0為C10系數(shù)2倍關(guān)系）。

（3）Neo-Hookean模型

    令Mooney-Rivlin模型中的參數(shù)C01= 0，可得到Neo-Hookean模型的應(yīng)變能函數(shù)

    橡膠的初始剪切模量為：

    橡膠剪切模量G（G4 ~ G10的橡膠），依據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)G乘以1.2~1.35的放大系數(shù)n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，從而有

    體積模量（K0=1000Mpa）為：

    根據(jù)上式可以求得所需參數(shù)C10，D1。

（4）Yeoh 模型

    取階數(shù)N=3，忽略多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的對(duì)I2的偏導(dǎo)并令其為零，則可將多項(xiàng)式模型簡(jiǎn)化為Yeoh 模型形式

    式中，C10為正，反映初始剪切模量；C20通常為負(fù)，表示橡膠材料在中等變形時(shí)發(fā)生軟化行為；C30一般大于0，可以表現(xiàn)大變形時(shí)橡膠的硬化現(xiàn)象。

    橡膠的初始剪切模量為：

    體積模量為：

    Yeoh模型的參數(shù)C10，C20和C30具有較明確的物理意義，能夠模擬出橡膠材料具有硬化特點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，由于在疊層橡膠支座模擬中體積模量只與D1 有關(guān)，可令 D2=D3=0，當(dāng)取其C20=C30=0時(shí)，就成了Neo-Hookean模型，此時(shí)僅考慮應(yīng)變能函數(shù)的線性部分，得到的力-位移曲線基本呈線性。

    通常Yeoh 模型的C20和C30則通過橡膠試片的單軸拉伸試驗(yàn)，并根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算獲得

    橡膠本體拉伸試驗(yàn)示意圖

（5）Ogden模型

    以上本構(gòu)模型都是以三個(gè)變形張量不變量為自變量，而Ogden模型的應(yīng)變能函數(shù)則以三個(gè)主伸長(zhǎng)比為自變量，在ABAQUS中采用的形式為

    式中參數(shù)均為材料參數(shù)，必須由由橡膠試驗(yàn)獲得。其中橡膠材料的初始剪切模量為：

    體積模量為：

    由于該模型參數(shù)較多，且需要利用試驗(yàn)得到相關(guān)參數(shù)，則對(duì)該模型不過多贅述，詳情可看下相關(guān)文獻(xiàn)。

 （1） 鋼材材料屬性

    若做中小應(yīng)變模擬時(shí)，通常鋼板可采用彈性本構(gòu)，彈性(楊氏)模量G=206GPa，泊松比取0.3。若做大變形模擬，或鋼板可能存在損傷情況，可采用彈塑性本構(gòu)，雙折線隨動(dòng)硬化模型進(jìn)行模擬，以常見的Q235鋼為例，參數(shù)表和輸入如下：

 （2） 鉛芯材料屬性

    通常鉛芯橡膠支座中的鉛純度可達(dá)到99.99%以上，采用理想彈塑性本構(gòu)模型，其彈性模量為16GPa，泊松比取0.44，屈服強(qiáng)度建議取14.4Mpa（可取8~16Mpa）

 （3） 單元選取

    橡膠材料由于具有不可壓縮或近似不可壓縮的性質(zhì)，橡膠材料需要采用8節(jié)點(diǎn)六面體雜交減縮單元C3D8RH。雜交公式可讓單元的節(jié)點(diǎn)位移僅僅用來計(jì)算偏應(yīng)變和偏應(yīng)力，單元的壓應(yīng)力則由一個(gè)附加的自由度確定，可以防止體積自鎖的問題，減縮積分則可以減少積分點(diǎn)使得計(jì)算效率上升；鉛芯屬于常規(guī)的材料，為了防止剪力自鎖問題，鉛芯建議可采用縮減積分8結(jié)點(diǎn)線性六面體單元C3D8R進(jìn)行計(jì)算；鋼材由于變形較小可采用8節(jié)點(diǎn)六面體非協(xié)調(diào)單元C3D8I，以防止剪切自鎖問題。

 （4） 計(jì)算方法建議

    （ABAQUS-Explicit）顯式分析所假定橡膠可壓縮性要比實(shí)際大得多，可能導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。此外，對(duì)于疊層橡膠支座，橡膠與鋼板黏接，橡膠材料被高度約束，而這會(huì)導(dǎo)致顯式分析結(jié)果的誤差會(huì)進(jìn)一步加大。所以在ABAQUS中使用隱式（Standard）求解方法分析橡膠支座的力學(xué)特性會(huì)更加接近試驗(yàn)分析。

     舉個(gè)例子，采用的支座如下參數(shù)，（工具索取詳見：【JY】橡膠支座的簡(jiǎn)述和其力學(xué)性能計(jì)算）

    對(duì)于該支座的理論參數(shù)進(jìn)行位移推復(fù)（該理論本構(gòu)模型未加入硬化階段分析），可得到以下理論滯回曲線：

     為了完整模擬分析支座全過程ABAQUS中使用隱式（Standard）求解，采用Yeoh本構(gòu)模型，施加5Mpa面壓，并進(jìn)行逐級(jí)增大的往復(fù)位移荷載。

    對(duì)比如下圖所示，由于橡膠層總厚度Tr = 90mm，則在剪應(yīng)變200%（即位移為180mm）以內(nèi)時(shí)，支座未硬化，模擬對(duì)比非常吻合~

概念為先，機(jī)理為本，期待下篇！

建源之光——工程俠