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作者：薛建華，張振華丨陜西漢德車橋有限公司 

摘 要

嚙合面載荷分布是斜齒輪設計和強度校核的基礎。以傳動誤差為基礎，基于嚙合面和端面剛度建立了斜齒輪單位線載荷分析模型，通過數值解法得到了斜齒輪嚙合面上單位線載荷和轉角誤差分布。為便于設計和校核，建立了既綜合考慮齒廓因素和軸向因素，又能反映嚙合面載荷的特征坐標系。將斜齒輪副簡化為兩個反向圓錐臺接觸模型，完善了斜齒輪熱彈流分析模型，得到了斜齒輪接觸點油膜壓力、厚度和溫度場分布，得到了沿特征坐標分布的閃溫。結果：斜齒輪齒廓中部承擔了大部分載荷，其變化規律與轉角誤差相同。

1.引言

平行軸斜齒圓柱齒輪是高速重載傳動中的首選，其重合度高，傳動平穩，振動和噪音小，已得到廣泛應用。斜齒輪嚙合過程中單位線載荷的計算是斜齒輪設計和強度校核的基礎。熱彈流分析是校核承載能力的重要方法。

本文將載荷和熱彈流計算引入工程應用，通過轉角誤差基于嚙合面和端面剛度得到了斜齒輪嚙合面上每一點的單位線載荷分布，提出了簡化斜齒輪設計和強度校核的特征坐標系，建立了考慮潤滑油粘合和密度隨溫度和壓力變化的斜齒輪熱彈流分析模型，得到了嚙合面上的熱彈流溫度場，為斜齒輪設計與校核奠定了理論基礎。

2.斜齒輪單位線載荷計算

2.1.斜齒輪單位線載荷分析模型

斜齒輪在傳動過程中由于受載變形會產生傳動誤差，如式(1)所示，式中Δθ為傳動誤差角，rb2為從動輪基圓半徑。則該點單位線載荷為w=kδ。設該時刻接觸線總長度為L，不考慮基節誤差，則必滿足載荷平衡方程，如式(2)，P為輸入功率n1為小輪轉速，rb1為小輪基圓半徑。

2.2.斜齒輪單位線載荷計算

斜齒輪端面剛度可以由石川模型求得，斜齒輪參數如表1所示，斜齒輪端面剛度分布如圖1所示。

Table 1.The parameters of the helical gear 
表1.斜齒輪參數

Figure 1.The stiffness distribution of helical gear end face 
圖1.斜齒輪端面剛度分布

斜齒輪嚙合面N1N2N3N4為其基圓內公切面，如圖2所示，接觸線K1K2為與軸線成基圓螺旋角βb的線段，根據端面嚙合狀態，可以將嚙合區分為雙齒嚙合區A1A2B1B2、D1D2E1E2和單齒嚙合區B1B2D1D2，在雙齒嚙合區內，接觸線總是對應成對出現的。設齒輪副從A1點嚙入，E2點嚙出，斜齒輪軸向重合度，設εβ=n+Δεβ，n為整數。nPba對應的區域內，接觸線總長度為常數，由式(3)計算，其總載荷為，將端面實際接觸長度A1E1離散化，設N為劃分節點數，則nPba對應載荷如式(4)。

Figure 2.The meshing model and contact face of helical gear 
圖2.斜齒輪嚙合模型及嚙合面

Δb=ΔεβPba對應的接觸線長度和分布規律是隨時間變化的，與ΔB和βb大小有關，可分四種情況，如圖3所示，在s1 區域，接觸線長度最長，s2 區域最短，其余區域是漸變的，嚙合線長度LΔ為該時刻各段接觸線長度之和，WΔ為各點單位線載荷之和，設某時刻共有m條線段參與嚙合，每條線段上離散后點數為num，則有：

Figure 3.The analysis model of length of the contact line of helical gear 
圖3.斜齒輪單位線載荷分析模型

斜齒輪接觸線總長度如式(6)，總載荷如式(7)。采用數值計算方法，取初值L=Ln和k0，求得 Δθ0，由式(7)得到總載荷W0，根據總載荷與實際載荷差值修正Δθ，直到載荷精度滿足要求，即得到該時刻的轉角誤差Δθ，根據w=kδ得到接觸線上該點的單位線載荷。其嚙合面單位線載荷如圖4所示，嚙合過程中轉角誤差分布如圖5所示，斜齒輪單位線載荷分布趨勢與轉角誤差規律相同，呈方波狀分布，方向與齒寬方向成βb角度，只是由于各點嚙合剛度不同，齒廓中部單位線載荷比較大，齒頂和齒根單位線載荷較小。

Figure 4.The unite-linear load distribution of helical gear 
圖4.斜齒輪三維單位線載荷分布

Figure 5.The 3D transmission error distribution of helical gear 
圖5.斜齒輪三維傳動誤差分布

斜齒輪嚙合面上每一點單位線載荷、滑動速度、曲率半徑等不同，其載荷分布、應力分布、溫度分布均應為三維模型，但三維模型計算量大，設計或校核運算周期長，而實際設計和強度校核過程中，往往只關心危險點的強度，故為了既能承載斜齒輪相關信息，又能體現斜齒輪本質，建立斜齒輪特征坐標系，用線段上各點來表征整個嚙合面信息，坐標采用各點齒廓坐標，為示與端面坐標區別，用無量綱坐標Ψ 表示，定義與Γ 相同，特征坐標經過嚙入點和嚙出點，嚙入點和嚙出點接觸線長度最短，滑動速度大，曲率半徑小，故為斜齒輪最危險點之一，線段既包含了齒廓方向信息，也包括了齒寬方向信息。特征坐標下單位線載荷和轉角誤差如圖6所示，顯然，嚙入點載荷和對應軸向最大值基本相同，轉角誤差也相同，因此特征坐標能反映整個嚙合面的變化情況。

Figure 6.Unite-linear load and transmission error distribution of helical gear 
圖6.斜齒輪單位線載荷和傳動誤差分布

3.斜齒輪熱彈流計算

3.1.斜齒輪分析基本模型

齒輪系統在運轉過程中會在接觸處形成潤滑油膜，由于擠壓和粘性剪切，油膜內能增加，溫度升高，通過對流換熱和熱傳導使齒輪溫度升高。熱穩態時，輪齒本體溫度高于潤滑油溫度，因此在進入嚙合瞬間，輪齒作為熱源對潤滑油加熱，使潤滑油溫度升高，由于油膜極薄，幾乎接觸瞬時潤滑油溫度即與本體溫度一樣，以往研究均以熱穩態潤滑油溫度為入口油溫，這在接觸區前半段，潤滑油界面溫度低于輪齒溫度，這與實際不符，本文以熱平衡時本體溫度作為初始溫度t0，使熱彈流溫度更符合工程實際。

3.1.1.斜齒輪熱彈流基本方程

斜齒輪接觸線上曲率半徑沿齒寬是逐漸變化的，接觸線上K點到N1N2距離即為主動輪曲率半徑rK1，到N3N4距離為從動輪曲率半徑rK2，可簡化為兩個個反向圓錐臺相對滾動，如圖7所示，在xoz平面內為兩個橢圓，其長短軸如式(8)，在接觸處曲率半徑如式(9)。

3.1.2.熱彈流基本方程

流體潤滑雷諾方程為：

Figure 7.Contact analysis model of helical gear 
圖7.斜齒輪齒面接觸分析模型

漳河工程管理局始終堅持“以水為主、綜合開發、多種經營、全面發展”的水利經營方針，以資源為依托，大力發展水利經濟。

式中：

式中，h0為油膜中心處膜厚，R為綜合曲率半徑，E為當量彈性模量。

能量方程：

運動方程：

能量方程邊界條件：

3.2.熱彈流方程的求解及結果分析

3.2.1.熱彈流方程的求解

將方程(11)～(18)進行無量綱化，采用有限差分法進行離散，x方向離散成81 個不等距點，z方向離散成21 個等距點，在給定溫度場情況下，求解雷諾方程，得到油膜壓力和厚度分布，在給定壓力和油膜厚度情況下求解能量方程，采用逐行掃描法求解溫度場，將兩者聯立循環求解，直至得到穩定溫度場。采用有限元方法求解本體溫度，熱平衡時潤滑油溫度toil=60° C，通過有限元法[8] [9]求解得到本體溫度t0=396 K (1 23° C )，如圖8，潤滑油參數如表2所示。

Figure 8.The bulk temperature fields solved by FEM method 
圖8.斜齒輪有限元本體溫度場分布

Table 2.The parameters of the oil 
表2.潤滑油參數

3.2.2.斜齒輪熱彈流溫度場計算結果

圖9給出了嚙入點的油膜厚度和壓力分布，對于高速重載齒輪，油膜中心壓力往往比較大，本例中中心壓力已經達到1.45 GPa，油膜厚度約為0.4 μm，與齒面粗糙度數量級相當。由于壓力較大，故壓力分布和油膜分布不再具有典型的彈流特征，二次壓力峰和頸縮靠近出口且很小，壓力分布接近赫茲壓力分布。

接觸區的三維溫度場如圖10所示，(a)為三維溫度場分布，(b)為中心油層和界面溫度分布，可見油膜中層溫度遠大于界面溫度，油膜中層溫度分布與壓力分布趨勢相同，在壓力最大處取得最大值，而界面溫度則略有不同，溫度一直升高在出口附近略有下降，取其最大值作為最高溫度，其與本體溫度之差為該點閃溫。

Figure 9.The thickness and pressure of the oil film 
圖9.斜齒輪油膜厚度和壓力分布

Figure 10.The temperature fields of the oil film 
圖10.斜齒輪油膜溫度場分布

3.2.3.熱彈流閃溫與Blok 閃溫的比較

閃溫是引起齒輪熱膠合破壞的主要原因，齒面高溫致使油膜破裂，兩齒面直接接觸，摩擦系數增大，從而導致更高溫度，使齒面撕裂，引起齒輪熱膠合破壞。Blok 根據摩擦理論推導了齒面接觸閃溫公式，如式(19)。

式中，f=0.06為摩擦系數，w為單位線載荷，λi,ρi,ci,ui為輪齒熱傳導系數、密度、比熱容和切向滑動速度，其中1、2 分別表示主從動輪，b0為赫茲接觸半寬。

圖11為特征坐標下的熱彈流閃溫和Blok 閃溫的比較，兩者分布趨勢基本相同，在主動輪齒根和齒廓節點附件，熱彈流閃溫大于Blok 閃溫，而在齒頂附近，熱彈流閃溫小于Blok 閃溫。

Figure 11.The flash temperature of helical gear 
圖11.斜齒輪閃溫分布

4.結論

1) 以端面剛度和嚙合面為基礎，建立了斜齒輪嚙合面單位線載荷分析模型，得到了斜齒輪嚙合面上每一點的單位線載荷。嚙合面單位線載荷分布與轉角誤差趨勢相同，呈方波狀分布，方向與齒寬方向成βb角度，齒廓中部載荷比較大，齒頂和齒根載荷較小。

2) 建立了便于斜齒輪設計和校核的特征坐標系，既包含了齒廓信息，又包含齒寬信息，能夠反映斜齒輪危險點信息，特征坐標系能夠代表斜齒輪嚙合面情況，可以有效地減小斜齒輪設計和校核工作量。

3) 建立了更符合實際工況的斜齒輪熱彈流分析模型，得到了斜齒輪接觸點的油膜厚度、壓力和溫度場分布，以及沿特征坐標的閃溫分布，高速重載斜齒壓力和頸縮靠近出口，沿特征坐標閃溫大致呈V 形分布，在主動輪嚙入點最大，計算結果與Blok 閃溫分布規律一致，在主動輪齒根和齒廓中部，熱彈流閃溫大于Blok 閃溫，在齒頂處，熱彈流閃溫小于Blok 閃溫。

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