在脈沖傳播的數值模擬中，需要以某種方式用數值表示脈沖。在脈沖相對較長的情況下（比如納秒脈沖持續時間較長）。假設您只對功率感興趣，那么通常只考慮光功率與時間的關系就足夠了。光學相位可能會受到光功率的影響，例如通過自相位調制，但通常沒有相位對功率的實質性反作用。

對于超短脈沖(即脈沖持續時間為皮秒甚至飛秒的脈沖)，情況則截然不同，因為光相位隨時間的變化對光功率的演化有重大影響。例如，與脈沖有限的光帶寬有關的光學相位的快速變化，會影響所涉及的群速度，可能還會影響有源光纖中增益的大小。(高階孤子脈沖的復雜演化就是一個例子。)因此，描述具有隨時間變化的復振幅的超短脈沖是很自然的，其中光功率與復振幅的模量的平方成正比，光學相位也包含在復振幅中。

慢變振幅

人們可能會認為，定性地說，描述一個聲音信號的情況完全一樣。只是我們在光學中有更高的頻率。然而，還有另一個非常重要的區別:在大多數情況下，光信號的帶寬比平均頻率小得多。因此，在解析或數值計算中，直接使用表示快速振蕩電場的復振幅往往是不明智的。相反，我們使用緩慢變化的振幅與快速振蕩的一個因子相結合，如下:

圖中ν0是光中心頻率

對于一個毫微秒的脈沖，例如，振幅A(t) 可能是純粹的真實描述光功率的上升和下降的時間尺度多個皮秒,而指數因子描述了快速光學振蕩,振蕩周期(1 /?ν0)只有幾個飛秒。

在數字上，我們通常使用一個離散的網格，它跨越一定的時間范圍，網格點有一定的時間間隔。我們稱它為脈沖的時間跟蹤。通常，它的點數(稱為N)是2的整數次方(例如28 or 210)，因為這極大地簡化了快速傅里葉變換算法的應用(見下文)。

顯然，上面解釋的技巧對緩慢變化的振幅有很大的幫助：網格間距可以經常比光振蕩周期長得多。例如，如果光功率和相位在1 ps內沒有太大的變化，1 ps的柵極間距可以完全滿足10 ps脈沖(對于電場本身的采樣，你需要低于1 fs的柵極分辨率!)但是，請記住，一個具有快速光學相位演化的強啁啾脈沖，可能需要一個實質上更精細的數字網格。

如果不使用緩慢變化的振幅，我們將需要更多的內存和計算時間。

傅里葉空間脈沖

對于許多計算和模擬，使用傅里葉變換是非常方便的。例如，色散最容易在頻域描述;因此,通常適用于第一個傅里葉變換獲得脈沖的光譜頻率跟蹤的形式與離散復振幅(再一次),然后把每一個振幅與相應的相位因子,最后使用一個傅里葉反變換回到時域(如果需要)。同樣，在頻域應用波長相關的吸收損耗或放大也很方便，而非線性效應通常在時域處理更方便。

在時域和頻域數值網格之間存在著一些重要的關系:

• 頻率跡的總寬度Δν 是時間步長的倒數。例如，1-ps的時間分辨率導致1-THz的頻率跨度。這足以描述一個帶寬為0.1THz的脈沖。

• 頻率域的分辨率δν (即頻域振幅的頻率間距)為頻率跨度除以點數N -或時間軌跡的反寬度:
  

• 由此還可以看出，軌跡上的點數是時域和頻域上軌跡寬度的乘積:N?=?Δt?×?Δν。因此，時間帶寬積大的脈沖需要大量的點。

作為一個例子，我們來展示下我們的軟件RP Fiber Power的交互式脈沖顯示窗口的截圖:

上圖顯示的是時域的脈沖，下圖顯示的是頻域的脈沖。RP Fiber Power軟件可以自動顯示范圍，有顯著的能量，但您也可以手動控制顯示的時間和頻率跨度。屏幕截圖顯示的是時間-主功率和光譜，但也可以顯示其他的東西，如與時間相關的光學相位、光譜相位、瞬時頻率和各種其他東西。在底部您會看到一個滑塊，你可以用它從一組存儲的脈沖中選擇脈沖，或者根據它在光纖中的位置來選擇。顯然，當檢測有時相當復雜的脈沖演變時，如在光纖放大器和鎖模光纖激光器中，有RP Fiber Power這樣一個方便的工具是非常可取的。

選擇數值網格參數的一些經驗法則

您可以通過一些簡單的規則輕松地找到合理的數值參數。對于數值模擬，我們需要決定數值網格的參數——例如，時間軌跡的寬度Δt和點數N。如上所示，這些參數也決定頻域網格。

下面的規則通常會給您提供一個好的起點:

• 時間痕跡當然應該足夠長，以確保沒有顯著的光能到達痕跡的末端。不僅是對于我們可以通過光纖發送的初始脈沖，而且在整個傳播過程中。例如，如果您有一個初始的1 ps脈沖，并且期望它的持續時間在整個傳播期間不會超過2 ps，那么您可以嘗試使用20 ps長的時間跟蹤。

• 如果脈沖相當接近變壓器限制，通常只用28點就足夠了。在我們的例子中，這意味著時間分辨率為20ps / 256 = 78 fs，頻率跨度為1 / 78 fs = 12.8 THz。頻率分辨率為12.8 THz / 256或1 / 20ps = 50GHz。變換限制高斯2-ps脈沖的帶寬為220 GHz;您看，我們可以合理地解析并覆蓋脈沖頻譜。(在時域或頻域中，在全寬范圍內有幾個點達到一半最大值通常就足夠了。)

• 對于相同持續時間的強啁啾脈沖，您可以使用相同的時間范圍結合增加的點數，即更精細的時間分辨率。時域的一個標準是，相位的變化不應超過每時間步幾百毫弧度。在頻域，您要確保邊緣沒有顯著的能量。

• 如果您想包括受激拉曼散射，你需要有足夠寬的頻率跨度，這樣Stokes波仍然在這個范圍內。考慮到硅的拉曼增益峰值在13ghz左右的頻率偏移，如果輸入信號在頻率范圍的中間，通常需要一個40ghz的總體頻率范圍。但是，您可以將輸入信號置于頻率跨度的“左邊”，這樣您就可以使用一個稍微小一些的跨度。

您不能總是在一開始就確定某些數值設置將足以獲得輸出的良好精度。但是，您可以嘗試檢查在模擬過程中是否違反了上述準則。如果用我們的RP Fiber Power軟件，您甚至可以自動檢查，這樣就可以在有問題的時候得到警告。軟件甚至可以自動發現頻率跨度太窄時，點數翻倍。在有疑問的情況下，您也可以運行一個額外的模擬與更高的數值分辨率，并檢查結果是否有顯著的變化。

我如何知道我的數字精度是否足夠高?

當您在光纖中模擬超連續譜產生時，您會得到非常大的時間和頻率痕跡——特別是在使用相對較長的脈沖時。在某些情況下，您需要220(大約100萬)個點。例如，將100-THz的頻率跨度與10 ns的時間跨度結合起來。如果每個復振幅用2乘以8字節(雙精度)表示，那么每次時間或頻率跟蹤需要16megabytes。假設您通過光纖模擬傳播，并希望存儲沿光纖的100個點的時間和頻域信息，這將總共消耗100倍32 MB或大約3 GB。所以您會想要一臺有相當多的gigabytes和64位軟件的電腦。順便說一下，如果您是我們RP Fiber Power軟的的用戶，您默認得到的是32位版本，如果您想得到64位版本，歡迎點擊“閱讀原文”但聯系我們。

超連續譜產生的數值模擬可以是苛刻的。

比跟蹤大小的比例要多一些。但是，幸運的是，大多數實際情況都可以在相當有限的計算時間內模擬出來。您將花費大部分時間設置模擬并考慮其結果，而不是等待計算結果。

繞包效應

當脈沖在時間或頻率軌跡的邊緣獲得大量能量時，會產生有趣的數值效應。這種能量不會簡單地消失，而是在另一邊又回來了。為了理解這一點，可以想象時間軌跡，例如，展示了一個周期性進化信號的樣本：我們只有一個離散的頻率域振幅網格，和傅立葉變換導致周期時間信號。因此，在時間追蹤的一端“走出”的東西，可以被認為只是進入了下一個樣本。

這種效應通常是不受歡迎的，但也有一些合理的方法來處理它:

• 只要使用足夠大的時間和頻率軌跡，您就永遠不會在邊緣獲得大量的能量。但是，在某些情況下，這可能需要相對較大的跟蹤，并相應地增加了計算時間。

• 如果您想對跟蹤的大小有更多控制，也可以在邊緣添加一個人工衰減。這樣你就不能更真實地描述邊緣處發生了什么，但至少可以避免那些偽影。

在模擬鎖模激光器時，您需要特別小心避免任何繞包效應，因為它們也可能會影響脈沖的穩定性。但這通常不是問題，因為循環脈沖在大多數情況下沒有那么強的啁啾，因此需要有限的點數，通常28個就足夠了，實際上需要超過210個。