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作者：郭 紅 武寧寧丨鄭州大學機械工程學院 

本文作者以內部同時開有深腔和淺腔的圓錐軸承為研究對象，建立Reynolds方程、能量方程及相應的邊界條件，采用有限元法和有限差分法對方程進行聯立求解，計算得到圓錐動靜壓軸承油膜節點的壓力和溫度，并分析熱效應對高速圓錐動靜壓軸承靜特性的影響。

1 數學模型

研究的圓錐動靜壓軸承的結構如圖1所示。軸承內部同時開有深腔和淺腔，深腔提供靜壓效應，淺腔和封油邊同時提供動壓效應。

圖1 圓錐動靜壓軸承結構示意圖
Fig 1 Structure diagram of conical hybrid bearing (a)end view of cone bearing;(b) section view

1.1 雷諾方程

假設潤滑油為不可壓縮流體，忽略流體的旋轉慣性力，不考慮軸頸、軸瓦的彈性變形以及軸線的傾斜、加工制造誤差。將油膜沿母線展開為一扇形，量綱一化的靜態Reynolds方程[11]為

(1)

式中：為半錐角；r為圓錐軸承展開后的扇形極徑；l為圓錐動靜壓軸承母線長；c為半徑間隙；d為軸承大端直徑；h為油膜厚度；p為油膜壓力；ps為供油壓力；μ為潤滑油在溫度為T時的動力黏度；μ0為潤滑油在溫度為T0時的初始動力黏度；Ω為軸頸角速度；Φ為圓錐截面上的角坐標；分別為各參數的量綱一化形式。

圖2示出了圓錐軸承邊界條件。油膜壓力邊界條件為

(2)

深腔流量平衡方程為

 第m個深腔

(3)

其中：

式中：qin、qout、qcin、qcout分別為第m個深腔4個方向的流入流量、流出流量參數;分別為第m個深腔4個方向的流入流量、流出流量的量綱一化形式；為第m個深腔壓力；Γ1為軸承端面邊界；Γ2為第m個深腔邊界；Γ3為油膜破裂邊邊界；為第m個深腔節流器液阻；h1為Φ=Φ1處的油膜厚度；h2為Φ=Φ2處的油膜厚度；分別為其量綱一化形式；λ2、λ3為深腔的最小、最大量綱一化極徑。

圖2 圓錐軸承邊界條件
Fig 2 Conical bearing boundary conditions

1.2 能量方程

假設整個軸承為一個絕熱系統，即運動過程中產生的熱量全部由油流帶走，則圓錐動靜壓軸承的量綱一化能量方程[12]為

(4)

式中：為溫度量綱一化形式；cv為潤滑油比熱容；ρ為潤滑油密度。

溫度邊界條件：

(5)

采用固定邊界溫度[13]，即深腔溫度為T0，固定不變。

等溫模型：

(6)

Teff=Tin+ΔT

(7)

式中：Q為端泄流量；Hf為摩擦功耗；ΔT為平均溫升；Tin為潤滑油進入油腔的初始溫度；Teff為軸承有效工作溫度。

等溫模型忽略了油膜溫度分布不均勻的現象，與實際情況偏差較大。

1.3 溫黏關系

采用Reynolds溫黏關系式，即

μ=μ0e-β(T-T0)

(8)

式中：β為溫黏指數。

1.4 油膜厚度

量綱一油膜厚度為

(9)

式中：ε=e/c，ε為偏心率，e為偏心距；分別為淺腔、深腔深度，分別為淺腔、深腔深度的量綱一化形式。

2 壓力場及溫度場計算

采用有限元與有限差分相結合的方法，對雷諾方程、能量方程、溫黏關系式聯立方程組編程、求解，得到計入熱效應后的黏度分布、壓力分布和溫度分布。

對于壓力場，運用超松弛迭代法，聯立雷諾方程、深腔流量平衡和壓力邊界條件，對偏位角進行迭代，直至其達到精度要求，滿足收斂準則為止。而溫度場，則充分考慮了流動方向對導數的差分計算式及界面上函數的取值方法的影響，采用迎風差分法求解，利用正系數法則對溫度離散系數及常數項進行修正[14]，以防止潤滑油在油腔邊緣處發生“逆流”現象，使能量方程絕對穩定。求解溫度場仍使用超松弛迭代法，使其滿足收斂準則。

壓力場和溫度場同時滿足收斂條件時，終止循環，得到滿足條件的黏度場、壓力場和溫度場，進而計算出計入熱效應后的高速圓錐動靜壓軸承的靜特性參數。

圓錐動靜壓軸承靜特性計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程
Fig 3 Calculation flow

3 結果及分析

3.1 靜特性分析算例

選用5號主軸潤滑油，外部供油壓力為1.0 MPa，并設定潤滑油進入油腔初始溫度為40 ℃。圖1所示的圓錐動靜壓軸承及潤滑油的基本參數詳見表1。

表1 圓錐動靜壓軸承和潤滑油相關參數
Table 1 Parameters of conical hybrid bearing and lubricating oil

3.2 壓力分布

圖4所示為n=10 000 r/min、ε=0.3時熱流體模型壓力分布。圖5給出了不同轉速下，ε=0.3時軸承中間位置熱流體模型和等溫模型壓力分布對比。由圖4和圖5可知，對于每個腔而言，壓力沿周向方向經過了不變、先上升后下降的過程；熱效應使壓力減小，且轉速越大，減小的幅度越大。例如n=8 000 r/min、n=12 000 r/min時，等溫模型時的量綱一壓力最大值分別為2.47、3.55；熱流體模型時的同一位置處壓力分別為2.20、3.00，減幅分別為12%、18%。

圖4 壓力分布
Fig 4 Pressure distribution

圖5 軸承中間位置壓力分布
Fig 5 Pressure distribution of bearing middle position

3.3 溫度分布

圖6所示為n=10 000 r/min、ε=0.3時的溫度分布。圖7和圖8給出了ε=0.3時不同轉速下的溫度分布對比。由圖7可知，在軸承小端端面溫度先上升后下降，在第三個腔達到最大值；6 000、8 000、10 000、12 000 r/min轉速下的最大溫升依次為5.94、8.23、10.46、12.11 ℃。由圖8可知，在軸承中間位置處，每個腔溫度沿周向方向先上升后下降，同樣在第三個腔達到最大值，4種轉速下的最大溫升依次為2.42、3.19、3.93、4.65 ℃。表明轉速越大，油膜溫升越高。

圖6 溫度分布
Fig 6 Temperature distribution

圖7 軸承小端端面溫度
Fig 7 Temperature distribution of bearing small end face

圖8 軸承中間位置溫度
Fig 8 Temperature distribution of bearing middle position

3.4 熱效應對靜特性影響分析

3.4.1 偏位角

由圖9可知，偏位角隨著偏心率的增大而減小，且轉速越大，偏位角越大；同樣轉速下計入熱效應使得偏位角增大，且轉速越高增幅越明顯。例如ε=0.1、n=8 000 r/min時，等溫模型下的偏位角為34.90°，計入熱效應后偏位角為36.41°，增加4.33%；ε=0.1、n=12 000 r/min時，等溫模型下的偏位角為35.45°，計入熱效應后偏位角為37.39°，增加5.47%。

圖9 偏位角隨偏心率的變化
Fig 9 The angle of displacement varies with eccentricity ratio

3.4.2 承載力

圖10和圖11分別示出了不同轉速下錐軸承徑向、軸向承載力隨偏心率變化。可知，徑向、軸向承載力均隨偏心率的增大而增大，且轉速越高增幅越明顯；計入熱效應后，潤滑油黏度降低，引起承載能力降低，且變化幅度隨偏心率的增大而增大。

圖10 徑向承載力隨偏心率的變化
Fig 10 Radial bearing capacity varies with eccentricity ratio

圖11 軸向承載力隨偏心率的變化
Fig 11 Axial bearing capacity varies with eccentricity ratio

3.4.3 端泄流量

圖12示出了不同轉速下軸承端泄流量隨偏心率的變化規律。可知，端泄流量隨轉速及偏心率的增大而增大；計入熱效應后，潤滑油黏度降低，端泄流量增大，且轉速越高變化越顯著。例如ε=0.6、n=8 000 r/min時，等溫模型下的量綱一端泄流量為19.73，計入熱效應后量綱一端泄流量為22.90，增幅達16.07%；ε=0.6、n=12 000 r/min時，等溫模型下的量綱一端泄流量為23.24，計入熱效應后量綱一端泄流量為29.97，增幅達28.96%。

圖12 端泄流量隨偏心率的變化
Fig 12 End discharge varies with eccentricity ratio

3.4.4 摩擦力

圖13示出了不同轉速下摩擦力隨偏心率的變化規律。可知，摩擦力隨偏心率及轉速的增大而增大;計入熱效應后，潤滑油黏度降低，摩擦因數減小，引起摩擦力減小，且轉速越高變化越顯著。例如ε=0.6、n=8 000 r/min時，等溫模型下的量綱一摩擦力為14.84，計入熱效應后量綱一摩擦力為13.10，減幅達11.73%；ε=0.6、n=12 000 r/min時，等溫模型下的量綱一摩擦力為22.29，計入熱效應后量綱一摩擦力為18.77，減幅達15.80%。

圖13 摩擦力隨偏心率的變化
Fig 13 Force of friction varies with eccentricity ratio

4 理論模型驗證

為驗證理論模型的正確性，根據方曉麗等[15]對圓錐動靜壓軸承的靜特性分析，選擇與其相同的軸承尺寸與工況條件，計算出圓錐動靜壓軸承量綱一徑向承載力，并與文獻結果進行對比。由圖14可知，文中計算的量綱一徑向承載力與文獻結果均隨偏心率的增大而增大，趨勢一致，故可驗證理論模型的正確性。但由于理論模型是在考慮熱效應的前提下建立的，導致計算結果小于文獻結果，也從側面驗證了文中結論。

圖14 文中計算值與文獻結果對比
Fig 14 Comparison of the calculation results in this paper and the reference results

5 結論

(1)熱效應使高速圓錐動靜壓軸承油膜壓力減小，且轉速越大，壓力減幅越大，油膜溫升越明顯。

(2) 高速圓錐動靜壓軸承計入熱效應后，潤滑油黏度降低，引起偏位角和端泄流量增大，承載力及摩擦力減小，且轉速越高變化越顯著。

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