隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，針對(duì)混凝土的靜、動(dòng)力學(xué)性質(zhì)已有較多研究，目前對(duì)混凝土彈性常數(shù)的預(yù)測(cè)所采用的模型較多的是并聯(lián)模型（Voigt模型）和串聯(lián)模型（Reuss模型），但該模型只能得出等效模型的上下限，不能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)混凝土的有效彈性模量。馬懷發(fā)等未考慮孔隙對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。馬輝等從理論上得出了等效彈性模量的解析公式，但忽略了泊松比的影響，結(jié)果存在一定偏差。另外，研究混凝土的力學(xué)特性的試驗(yàn)也相對(duì)較多，但試驗(yàn)研究的成本高和耗時(shí)，且較難得出一般性規(guī)律。

混凝土作為多相復(fù)合材料，文中基于Digimat對(duì)混凝土等效彈性模量進(jìn)行研究。Digimat是一種非線性多尺度復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)建模平臺(tái)，它是基于Eshelby夾雜理論，采用Mean Field均勻化方法的多相材料非線性材料本構(gòu)預(yù)測(cè)工具，在細(xì)觀尺度上，它可以對(duì)所有增強(qiáng)相為橢圓形拓?fù)涞亩嘞嗖牧线M(jìn)行快速準(zhǔn)確的性能預(yù)測(cè)，獲得剛度矩陣和工程常數(shù)，故可基于Digimat較為精確的預(yù)測(cè)出混凝土的等效彈性模量以及分析出各組相對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。

2.1   基本原理

 解決力學(xué)問題時(shí)不能僅停留在細(xì)觀尺度上，因此需區(qū)分兩個(gè)尺度：細(xì)觀尺度和宏觀尺度，這兩個(gè)尺度是通過代表性體積單元（RVE）來聯(lián)系的。在宏觀尺度上，對(duì)于每個(gè)宏觀材料點(diǎn)（假設(shè)每個(gè)材料點(diǎn)是RVE的中心），為宏觀應(yīng)力和為宏觀應(yīng)變。細(xì)觀尺度上有RVE區(qū)域、體積和邊界條件。RVE應(yīng)該足夠大來代表細(xì)觀結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)特性，但相對(duì)于整個(gè)材料來說也足夠小。RVE在線性邊界條件作用下，宏觀上的應(yīng)力和應(yīng)變等價(jià)于RVE區(qū)域內(nèi)細(xì)觀應(yīng)力和細(xì)觀應(yīng)變。文中采用平均場(chǎng)均勻化方法對(duì)混凝土進(jìn)行分析，然而，平均場(chǎng)均勻化方法也有不足，它無法得出每個(gè)相中的應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)數(shù)值。

圖1  平均場(chǎng)均勻化過程

圖1為平均場(chǎng)均勻化方法的過程。（1）局部應(yīng)變根據(jù)宏觀應(yīng)變計(jì)算；（2）局部應(yīng)力根據(jù)局部應(yīng)變和每個(gè)相的模型來計(jì)算；（3）宏觀應(yīng)力根據(jù)平均局部應(yīng)力計(jì)算。

2.2   混凝土均勻化理論分析

細(xì)觀力學(xué)將混凝土看作由界面包裹的粗骨料和含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿組成的非均質(zhì)復(fù)合材料。在RVE中，將界面包裹的粗骨料作為夾雜相和含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為基體項(xiàng)，因宏觀剛度是微觀剛度的體積平均值，可通過應(yīng)變集中張量定義來求得宏觀剛度。

       在RVE上對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的平均化定義：

（1）

為RVE內(nèi)部的細(xì)觀應(yīng)力場(chǎng)，為宏觀坐標(biāo)點(diǎn)，為細(xì)觀坐標(biāo)點(diǎn)。

    在基體和夾雜相上對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的平均化定義：

（2）

式中0和1分別表示基體和夾雜相，

RVE、基體相和夾雜相應(yīng)變場(chǎng)的體積平均關(guān)系為：

（3）

（4）

平均場(chǎng)均勻化模型可通過應(yīng)變集中張量來定義：

（5）

夾雜體應(yīng)變的體積平均與整個(gè)RVE（宏觀應(yīng)變）的體積平均相關(guān)，通過應(yīng)變集中張量來定義：

（6）

平均場(chǎng)均勻化模型是以Eshelby張量為基礎(chǔ)，利用Eshelby解，在夾雜體內(nèi)部的應(yīng)變是均勻的，且與遠(yuǎn)程應(yīng)變相關(guān)：

（7）

其中，為單夾雜體的應(yīng)變集中張量，定義為：

（8）

為Eshelby張量。

對(duì)于均勻化模型來說，宏觀剛度為：

（9）

2.3   混凝土模型

混凝土模型采用平均場(chǎng)均勻化方法，是基于Eshelby夾雜理論，等效顆粒運(yùn)用Mori-Tanaka均化算法以及等效基體運(yùn)用雙夾雜均化算法。混凝土混合夾雜模型如圖2所示,將含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為等效基體，粗骨料和其包裹粗骨料的界面看作是球形等效顆粒，作為夾雜相，形成混凝土混合夾雜模型。為建立混凝土混合夾雜模型，假設(shè)混凝土各細(xì)觀組成相材料都是理想均勻、各向同性的彈性材料，并且忽略骨料形狀、級(jí)配的影響，采用同一粒徑的球形顆粒模擬骨料。

圖2  混凝土混合夾雜模型

其中界面層包裹的骨料采用雙夾雜模型，雙夾雜模型如圖3所示，它基于以下想法：剛度為的夾雜體被由剛度為的材料包裹，在該材料之外的區(qū)域是剛度為的基體材料。此時(shí)，真實(shí)RVE被由虛擬的復(fù)合材料所代替，該材料由剛度為的參考基體和剛度為的夾雜體以及覆蓋在其表層的剛度為的材料所構(gòu)成，因此稱為雙夾雜。

圖3  雙夾雜模型示意圖

我想請(qǐng)大家來看這樣一個(gè)圖。這個(gè)圖是從全球很多的經(jīng)濟(jì)體的增長歷史中得到的數(shù)據(jù)。橫軸表示的是某個(gè)國家在某個(gè)歷史階段的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，縱軸表示的是這個(gè)國家在同樣歷史階段的勞動(dòng)生產(chǎn)率的增長速度。首先經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平比較低的國家情況差異非常大，紅色的這些點(diǎn)勞動(dòng)生產(chǎn)率的增長速度非常快，白色的這些點(diǎn)勞動(dòng)生產(chǎn)率的速度非常慢。紅色的和藍(lán)色的點(diǎn)，代表著實(shí)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)增長潛力的國家和地區(qū)，或者說最成功的經(jīng)濟(jì)體，它們的勞動(dòng)生產(chǎn)率增長速度隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的提升在逐漸下降。

選擇Stock的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)建立的混凝土模型對(duì)其抗壓彈性模量和抗拉彈性模量進(jìn)行計(jì)算，通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對(duì)驗(yàn)證該模型的有效性。Stock通過試驗(yàn)的方法測(cè)得數(shù)據(jù)如下：水灰比為0.5，水泥砂漿的抗壓和抗拉彈性模量分別為、E_m=1.34×10⁴N/mm²、E_p=1.16×10⁴N/mm²，水泥砂漿的泊松比為v_m=0.25，粗骨料的彈性模量為E_a=7.45×10⁴N/mm²、粗骨料的泊松比為v_a=0.15，界面層的彈性模量取為水泥砂漿彈性模量的0.4倍、泊松比為v_i=0.3、厚度為粗骨料粒徑的0.005，孔隙和微裂縫所占的混凝土體積比均取為1%。混凝土模型如圖4所示，圖（a）可以直觀的顯示混凝土的組成成分，圖（b）對(duì)混凝土模型進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，采用六面體網(wǎng)格，經(jīng)計(jì)算該細(xì)觀模型共有148202個(gè)單元和298654個(gè)節(jié)點(diǎn)。

(a)

(b)

圖4  混凝土模型

取粗骨料體積百分比為0.4，由均勻化方法得出混凝土的等效彈性矩陣如表1所示。

表1  混凝土的等效彈性矩陣

經(jīng)過計(jì)算，混凝土泊松比為v=0.21,宏觀抗壓彈性模量為E_c=2.23×10⁴N/mm²,而Stock等人得到的實(shí)驗(yàn)值為E_c=2. 32×10⁴N/mm²，相對(duì)誤差為3.9%。

      其他參數(shù)不變，只改變粗骨料在混凝土中所占體積百分比，分別取0.2,0.4,0.6和0.8，抗壓彈性模量值如表2所示，抗拉彈性模量值如表3所示。

表2  混凝土抗壓彈性模量值  GPa

表3  混凝土抗拉彈性模量值  GPa

       圖5和圖6分別給出在不同粗骨料體積比下，實(shí)驗(yàn)測(cè)定和模型預(yù)測(cè)的混凝土等效抗壓彈性模量值和抗拉彈性模量值。結(jié)果表明，模型預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)測(cè)定值相近，隨著粗骨料體積比的增加混凝土的等效彈性模量成指數(shù)增加，粗骨料體積比相同時(shí)混凝土的抗壓彈性模量大于抗拉彈性模量。

圖5  試驗(yàn)測(cè)定和模型預(yù)測(cè)的混凝土等效抗壓彈性模量

圖6  試驗(yàn)測(cè)定和模型預(yù)測(cè)的混凝土等效抗拉彈性模量

 在細(xì)觀結(jié)構(gòu)層次上，影響混凝土等效彈性模量的因素很多，文中運(yùn)用混凝土混合夾雜模型分別預(yù)測(cè)出不同基體水泥砂漿的彈性模量、不同粗骨料縱橫比和不同孔隙所占的水泥砂漿體積比對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。

 圖7給出基體水泥砂漿的彈性模量分別為8.4GPa，13.4GPa和18.4GPa時(shí)對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。結(jié)果表明，基體水泥砂漿的彈性模量對(duì)混凝土等效彈性模量的影響較大，隨著水泥砂漿彈性模量的增加混凝土等效彈性模量隨之增加。

圖7  水泥砂漿彈性模量對(duì)混凝土等效彈性模量的影響

 上述實(shí)驗(yàn)測(cè)定值和模型預(yù)測(cè)值的前提是粗骨料縱橫比為1.0（即為球形），為了進(jìn)一步研究粗骨料對(duì)混凝土等效彈性模量的影響，預(yù)測(cè)了粗骨料的縱橫比分別為1.0，1.2,1.4和1.6時(shí)混凝土的等效彈性模量值。圖8給出不同粗骨料縱橫比對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。結(jié)果表明，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著粗骨料縱橫比的增大混凝土等效彈性模量呈上升趨勢(shì)。并且由圖可知，當(dāng)骨料體積比為0.2時(shí)，隨著粗骨料縱橫比的增大對(duì)混凝土等效彈性模量的影響并不太顯著，但隨著骨料所占體積比的增加，粗骨料縱橫比對(duì)混凝土等效彈性模量有較大影響。

圖8  粗骨料縱橫比對(duì)混凝土等效彈性模量的影響

 水泥在硬化過程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生孔隙，同時(shí)，由于振搗不實(shí)、養(yǎng)護(hù)不好等原因也會(huì)在混凝土中留下孔隙，因此，在對(duì)混凝土進(jìn)行細(xì)觀數(shù)值分析的過程中，混凝土的孔隙也是一個(gè)不可忽視的重要影響因素。圖9給出孔隙所占的水泥砂漿體積比分別為0.01,0.03和0.05時(shí)對(duì)混凝土等效彈性模量的影響。結(jié)果表明，孔隙所占水泥砂漿體積比對(duì)混凝土的等效彈性模量有密切的關(guān)系:在其他參數(shù)不變的情況下，隨著所占水泥砂漿體積比的增大混凝土等效彈性模量呈下降趨勢(shì)。

圖9 孔隙所占的水泥砂漿體積比對(duì)混凝土等效彈性模量的影響

(1)基于Digimat，將混凝土作為由水泥砂漿、粗骨料、界面、孔隙和微裂縫組成的多相復(fù)合材料，將含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為基體，粗骨料和其包裹粗骨料的界面看作是球形顆粒，作為夾雜相，建立了混凝土模型，分別計(jì)算出等效抗壓和抗拉彈性模量值。結(jié)果表明，模型預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)測(cè)定值較為吻合。

(2)隨著粗骨料體積比的增加混凝土的等效彈性模量成指數(shù)增加；在粗骨料體積比相同的情況下，混凝土的抗壓彈性模量大于抗拉彈性模量。另外，粗骨料體積百分比在40%至70%之間時(shí)，該模型計(jì)算值與試驗(yàn)測(cè)定值相對(duì)誤差較小，而大壩混凝土粗骨料體積百分比一般在該區(qū)間，故為預(yù)測(cè)大壩混凝土等效彈性模型提供了較為合理的參考值。

(3)各組相力學(xué)特性對(duì)混凝土的等效彈性模量均有較大影響。隨著水泥砂漿彈性模量的增加混凝土等效彈性模量隨之增加；隨著粗骨料縱橫比的增加混凝土等效彈性模量呈上升趨勢(shì)；孔隙所占水泥砂漿體積比增加混凝土等效彈性模量減小。

(4)通過計(jì)算表明該模型在一定程度上能夠反映出細(xì)觀上的粗骨料所占不同體積百分比對(duì)混凝土抗拉和抗壓彈性模量的影響以及分析了水泥砂漿彈性模量、粗骨料縱橫比和孔隙所占水泥砂漿體積比對(duì)混凝土彈性模量的影響。此模型既可以用于預(yù)測(cè)混凝土的抗壓和抗拉彈性模量，也能優(yōu)化混凝土的材料性能。