該問題提出了在圓柱熱源周圍的飽和土壤中固結的解決方案。布克和薩維維杜（Booker and Savvidou，1985）對該問題進行了研究，它代表了埋在飽和土壤中的放射性廢物罐問題的理想化。由于來自罐的熱輻射而發生的溫度變化導致孔隙水的膨脹量大于土壤中孔隙的膨脹量，導致熱源周圍的孔隙壓力增加。產生的孔隙壓力梯度將孔隙流體驅離熱源，導致孔隙壓力隨時間消散。Booker和Savvidou開發了一種針對點熱源深埋在飽和土壤中的基本問題的分析解決方案。隨后，他們使用該分析解決方案得出了圓柱熱源周圍固結問題的近似解決方案。此問題為Abaqus中耦合的熱固結能力提供了驗證。飽和土壤的分析需要耦合應力擴散方程的解，Abaqus中使用的公式在《 Abaqus理論指南》第2.8節“多孔介質分析”中有詳細描述。熱固結能力還可以與應力擴散方程完全耦合地求解傳熱方程（同時考慮傳導和對流效應），從而模擬孔隙壓力對孔隙流體和管道內溫度場的影響。土壤，反之亦然。

 

定義幾何形狀和材料特性的參數的數值是基于Lewis和Schrefler（2000）對這個問題進行的參數研究中給出的細節。

問題描述

 

問題設置如圖1.15.7-1所示。半徑為0.1604 m，高度為2.5 m的圓柱狀熱源被埋在半徑和高度均等于10 m的圓柱狀土壤中。實際上，土壤的圓柱形體積代表了圍繞熱源的無限介質。重力被忽略了。由于邊界條件（下面將詳細討論），問題基本上是一維的，唯一的梯度是在徑向方向上。分析的目的是預測整個土壤質量，特別是熱源附近的孔隙壓力和溫度隨時間的變化。

 

幾何和模型

 

利用垂直方向的對稱性，僅對問題的一半進行建模。使用三維和軸對稱耦合的溫度-孔壓力元件都可以解決此問題。為了呈現結果，選擇了三維元素類型C3D8RPT。三維分析和軸對稱分析均使用基本三維8節點或軸對稱4節點元素以及修飾的四面體元素的不同變體（例如，積分和混合）進行。

 

假定土壤的響應為線性彈性，楊氏模量為60.0 MPa，泊松比為0.4。孔隙流體的比重假定為9800.0 N / m3（1 lb / in3）。假設滲透率是常數，值為4.63×10–8 m / sec。假定土壤和孔隙流體的熱膨脹系數分別為每℃0.3×10–6和每℃0.21×10–5。假定土壤和孔隙流體的密度，比熱以及電導率相同，分別為1000 kg / m3、40.0 cal /（kg°C）和11.9 W / cal /（m°C） ， 分別。在整個土壤體積中，最初的空隙率假定為1.0。假定初始溫度和孔隙壓力在任何地方都為零。還假定孔隙被孔隙流體完全飽和。

邊界條件

位移的法向（垂直）分量被約束在土壤的底部，而通過約束外部邊界上的一組點來防止剛體在兩個橫向方向上的運動。假定在土壤體積外邊界的所有點的孔隙壓力和溫度均為零。因此，假定外邊界連接到熱量和流體儲層（如圍繞該模型考慮的體積的土壤所代表），該熱量和流體儲層允許熱量和孔隙流體的傳遞，從而使邊界溫度和孔隙壓力保持在指定的值。將熱源指定為單位體積的熱體通量，強度為11.58。

解析解

與該問題相關的時間尺度有兩種：一種是運行的兩種擴散機制中的每一種。第一時間尺度與擴散熱傳遞相關聯，由給出

，其中，是圓柱熱源的半徑，而代表周圍介質的熱擴散率，由給出。在前面的表達式中，和分別表示周圍介質的密度，比熱容和電導率。通常，基于孔的體積分數，需要將該表達式中使用的熱性能加權平均。然而，由于假定土壤和孔隙流體的熱特性相同，因此在該示例中不需要這種平均。第二時間尺度與孔隙流體的擴散流有關，由給出。在前面的表達式中，數量表示固結系數，定義為，其中是多孔介質的滲透率，是彈性常數，是孔隙流體的比重。針對該問題選擇不同的參數，使得該比率大約等于2。

 

Booker和Savvidou獲得了一種在原本無限的介質中圍繞點熱源進行固結的解析解，并利用該解析解來近似求解圓柱熱源周圍的固結問題。后者是通過簡單地將點源解決方案整合到整個圓柱體中來完成的。如上參考文獻中給出的溫度和孔隙壓力場的表達式復制如下。這些表達式用于獲得解析解，以便與數值結果進行比較。在 (, , ) 點和時間的溫度值由下式給出

其中，是熱源的強度（單位時間每單位體積從熱源輻射的熱能），

和 (,,代表圓柱體內點源的坐標。該函數

用互補誤差函數表示為

 

同樣，在假設下，孔隙壓力場可以表示為

 

其中的數量取決于土壤骨架的彈性特性以及土壤骨架和孔隙流體的（體積）熱膨脹系數，并由給出。布克和薩維維杜指出，溫度在圓柱源的中點達到最大值。如果土壤是不可滲透的（），則孔隙壓力將在同一點達到最大值。

上段給出的孔隙壓力表達式清楚地表明，孔隙流體流動的作用是（隨時間）減小給定點的孔隙壓力。對于不可滲透流體的特殊情況，孔隙壓力會隨著時間的推移而逐漸增加，并且永遠不會降低。另一方面，如果，則流體以與熱量相同的速率擴散，因此，孔隙壓力永不增大。

分析步

瞬態土壤固結過程的時間積分精度（還可以模擬傳熱）由每時間步長的最大允許孔隙壓力和溫度變化控制。即使在線性問題中，這些值也會控制求解的準確性，因為用于固結和傳熱問題的時間積分算子并不精確（在兩種情況下均使用后向差分法則）。在這種情況下，每時間步長的允許孔隙壓力變化選擇為0.5 Pa，與相比，這是一個相對較大的值。使用較小的值（例如0.1 Pa和0.075 Pa）進行的模擬會產生基本相同的結果，盡管分析需要逐步進行更多的增量來完成較低的值。每個時間步長的允許溫度變化選擇為0.003°C，大約為0.1。盡管分析花費了大量的增量來完成，但0.0003°C的值（以及0.075 Pa的值）產生的結果基本相同。

 繼續進行分析的時間大約為1000。

模擬使用求解控制指定時間平均孔隙流體通量的非默認初始值。默認選擇可能不適用于諸如本問題中遇到的情況，在這種情況下，相對于其他領域（例如位移或旋轉）遇到的典型通量值，流體速度相對而言要低。如果沒有上述說明，則從連續性方程式的角度來看，這些增量將被視為線性的。換句話說，如果不使用解決方案控件指定時間平均孔隙流體通量的非默認初始值，則增量的孔隙流體部分將被視為線性。因此，假設連續性方程式在第一次迭代本身就已滿足，而無需執行任何其他迭代來計算孔隙壓力的校正值。 

對于孔隙流體流動方程，模擬還使用非默認值和最大殘留通量與平均通量之比的相對較大的值，這為增量設置了收斂準則。此設置非常有用，因為此問題中的流體速度非常小，并且可以確保在沒有至少一個校正（迭代）的情況下，不會將孔隙壓力增量視為收斂的。由于流量殘差已經足夠小，進一步減小公差沒有太大優勢，并且殘差的任何進一步減少都不會對整體解決方案產生任何影響。

 

結果和討論

Abaqus / Standard的自動時間增量功能可用于所有模擬。如前所述，完成分析的增量總數在很大程度上取決于瞬態土壤固結過程中每個時間步長的最大允許孔隙壓力和溫度變化的選擇。對于相對寬松的公差，時間增量大小從分析的開始到結束增加大約25,000倍，而對于相對嚴格的公差，該因子減小到大約20,000。時間增量大小中的這些非常大的變化是典型的問題，這些問題主要是擴散問題，并突出顯示了使用自動時間步進和無條件穩定的積分算子來解決此類問題的價值。

 

圖1.15.7–2和圖1.15.7–3分別顯示了在圓柱熱源的三個不同半徑處，溫度和孔隙壓力隨時間的變化。這些位置對應于熱源（）的外表面，并且沿分別是熱源半徑的2（）和5（）倍。軸的溫度，孔隙壓力和時間（后者以對數刻度顯示）分別為 , 。

 

Figure 1.15.7–2 Variation of normalized temperature with normalized time at three different radii.

 

Figure 1.15.7–3 Variation of normalized pore pressure with normalized time at three different radii.

圖中還使用數據點（與連續曲線相反）顯示了基于前面介紹的方程式的問題的解析解，并分別標記為Analytical-1，Analytical-2和Analytical-5，并分別對應上面討論的三個不同的半徑。通過數值評估積分獲得解析解。

 

溫度結果表明，在熱源表面，溫度隨時間而接近，而在距離熱源較遠的距離處，溫度隨時間以較慢的速率增加。結果與分析結果非常吻合，尤其是在分析的早期。用于仿真的網格相對較粗，有2718個元素。如果使用由9816個元素組成的更精細的網格進行分析，則在任何時候，有限元預測和解析解之間的一致性都會更好。

 

初始升高，隨后孔隙壓力隨時間降低。孔隙壓力的初始增加是由于與孔隙相比孔隙流體的體積膨脹相對較高。孔隙壓力場中的梯度是驅動孔隙流體流動所必需的。結果表明，在相對較早的時間，孔隙流體從物質點擴散的強度還不足以抵消與溫度升高相關的體積增加。因此，孔隙壓力隨時間增加。但是，隨著時間的流逝，材料點處的溫度升高速度減慢，并且孔隙流體的擴散加快，從而溫度的任何進一步升高（以及相關的體積變化）都不會導致孔隙的進一步增加。壓力，并且孔隙壓力隨時間衰減。

 

圖1.15.7–4和圖1.15.7–5分別顯示了分析過程中某個中間時間（大約5700秒）的孔隙壓力等高線圖和流體速度大小的矢量圖。孔隙壓力的分布近似軸對稱，較高的孔隙壓力更靠近中央熱源。孔隙壓力中的徑向梯度驅動孔隙流體流動，從而導致孔隙流體速度矢量大致指向徑向。網格本身不是軸對稱的，這會導致純軸對稱狀態的解有很小的變化。

 

Figure 1.15.7–4 Contour plot of pore pressure at an intermediate time.

 

 

Figure 1.15.7–5 Vector plot of pore fluid velocity at an intermediate time.

盡管此問題說明了埋在土壤中的熱源物理問題的耦合性質，但耦合性質相對較弱。因此，雖然孔隙流體流場主要由孔隙流體和孔隙的相對熱體積膨脹驅動，因此直接取決于溫度場，但是熱傳遞問題對孔隙流體流不敏感。例如，可以通過考慮對流傳熱來實現更強的耦合，其中傳熱速率直接受孔隙流體速度影響。耦合的其他潛在來源包括磁導率對空隙率的依賴性，空隙率取決于材料中的應變水平（包括熱膨脹）。盡管在Abaqus / Standard的配方中考慮了這種影響，但在當前問題中忽略了這些影響。

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