很多人經常會有這樣的疑問：“我應該使用哪種 COMSOL 產品來模擬特定的電磁設備或應用？”除了 COMSOL Multiphysics? 軟件基本模塊的功能之外， COMSOL 產品樹的“電磁模塊”分支中目前還有 6 個模塊。另外 6 個模塊分布在其余產品分支中。這些模塊代表了麥克斯韋方程組與其他物理場耦合的各種形式。本篇博文，我們來看一看它們都有什么功能。

注意：此博客最初發布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

計算電磁學：麥克斯韋方程組

麥克斯韋（Maxwell）方程組與電荷密度 、電場 、電位移場 、電流 、磁場強度 ，以及磁通密度  有關：

 
為了求解這些方程，我們需要一組邊界條件，以及材料本構關系。本構關系將  和 場、和  場和  場、 和  場相關聯。在不同的假設下，這些方程已在 COMSOL 產品庫的不同模塊中被求解，并與其他物理場耦合。

注意：為了傳達關鍵理念，此處介紹的大多數方程均以縮寫形式顯示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本構關系，請查閱產品文檔。

下面，讓我們從一些概念開始介紹……

…

穩態、時域還是頻域？

在求解麥克斯韋方程組時，為了減輕計算負擔，我們試圖做出盡可能合理和正確的假設。盡管麥克斯韋方程組可以求解任意隨時間變化的輸入，但我們通常可以合理地假設輸入和計算的解都是穩態或正弦時變的情況。前者通常也被稱為 DC（直流）情況，而后者通常被稱為 AC（交流）或頻域情況。

如果這些場在任何時間都沒有變化，或者變化很小以至于不重要，則穩態（DC）假設成立。也就是說，我們可以說麥克斯韋方程組中的時間導數項為零。例如，如果您的設備連接了電池（可能需要數小時或更長時間才能耗盡電量），那么這樣做是非常合理的假設。更正式地，我們可以這樣說： ，它直接就忽略了麥克斯韋方程組中的兩個項。

如果系統上的激勵呈正弦變化，并且系統的響應在相同頻率下也呈正弦變化，則頻域假設成立。換句話說，系統的響應是線性的。在這種情況下，我們可以使用以下關系式在頻域中，而不是在時域中求解問題：，其中  是時空變化場；  是一個空間變化的復值場； 是角頻率。與時域相比，在一組離散頻率中求解麥克斯韋方程組的計算效率非常高，盡管計算要求與要求解的不同頻率的數量成正比（我們將在后面討論一些注意事項）。

當解隨時間變化或系統響應為非線性時，就需要在時域內求解（盡管對此有一定的例外，我們將在后面討論）。時域仿真比穩態或頻域仿真在計算上更具挑戰性，因為其求解時間與感興趣的時間跨度和所考慮的非線性因素成比例增加。在時域內求解時，最好考慮輸入信號的頻率組成，尤其是當前存在且重要的最高頻率。

電場、磁場或兩者兼有？

盡管我們可以使用麥克斯韋方程組求解電場和磁場，但通常只需求解一個就足夠了，尤其是在直流情況下。例如，如果電流很小，則磁場將會很小。即使在電流較高的情況下，我們實際上也可能不會對所產生的磁場感到擔憂。另一方面，有時僅存在磁場，而沒有電場，例如僅由磁體和磁性材料組成的設備。

但是，在時域和頻域中，我們必須更加小心。我們要在此處檢查的第一個量是模型中材料的集膚深度。金屬材料的集膚深度通常約為 ，其中  是磁導率， 是電導率。如果集膚深度遠大于 物體的特征尺寸，則可以合理地認為集膚深度效應可忽略不計，并且只需求解電場。但是，如果集膚深度等于或小于物體的大小，則感應效應很重要，并且我們需要同時考慮電場和磁場。在開始任何模擬之前，最好快速檢查一下集膚深度。

隨著激勵頻率的增加，了解設備的一階共振也很重要。在基本共振頻率下，電場和磁場中的能量恰好處于平衡狀態，因此我們可以說處于高頻 狀態。盡管共振頻率通常很難估計，但是比較特征物體的尺寸  和波長  是一個良好的經驗法則。如果物體尺寸接近波長的重要部分 ，則我們正在接近高頻狀態。在這種狀態下，功率主要通過電介質中的輻射流動，而不是通過導電材料中的電流流動。這導致控制方程的形式略有不同，明顯低于一階共振頻率，通常稱為低頻 狀態。

現在讓我們看看這些不同的假設是如何被應用于麥克斯韋方程組，并為我們提供不同的方程組來求解，然后看看我們需要為每個方程組使用哪些模塊。

穩態電場模擬

在穩態條件下，我們可以進一步假設我們僅在處理導電材料或完全絕緣的材料。在前一種情況下，我們可以假設電流在所有域中流動，并且麥克斯韋方程組可以重寫為：

 

這個方程求解了電勢場 ，并能得出電場  以及電流 。我們可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模塊求解該方程，并在軟件的 入門簡介中求解。AC/DC 模塊和MEMS 模塊擴展了基本模塊的功能，例如，通過提供簡化模型設置的終端條件和用于模擬相對較薄的導電和絕緣區域的邊界條件，以及模擬僅通過幾何上較薄并可能具有多層結構的電流的單獨物理場接口。

另一方面，假設我們對材料介電常數為  的完全絕緣介質中的電場感興趣，可以求解方程：

 
該方程計算了不同電勢下對象之間的介電區域中的電場強度。該方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模塊求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模塊再次通過例如終端條件、模擬薄介電區域的邊界條件和介電材料中的薄間隙擴展了功能。此外，這兩種產品還提供了邊界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它對于僅由導線和表面組成的模型也具有一些優勢。

時域和頻域電場模擬

一旦要模擬時變電場，就會同時存在傳導電流和位移電流，這時我們會想使用 AC/DC 模塊或 MEMS 模塊。與上面的第一個方程略有不同，在時域情況下，求解方程可寫為：

 

這個瞬態方程可以同時求解傳導電流， 和位移電流 。當源信號不是諧波，并且我們希望隨時間監視系統響應時，可以使用此方法。電路中電容器的瞬態模擬模型是一個你可以查閱的示例。

在頻域中，我們可以求解穩態方程：

 
此時，位移電流為 。使用此方程的一個示例是電容器頻域模擬。

使用 AC/DC 模塊模擬磁場

AC/DC 模塊解決了穩態、時域或低頻狀態下的磁場模擬問題。

對于沒有電流流過的模型（例如磁體和磁性材料的模型），可以簡化麥克斯韋方程組并求解磁標勢  ：

 
可以使用有限元法或邊界元法求解該方程。

一旦模型中存在穩態電流，我們就必須求解磁矢勢 。

 
該磁矢勢用于計算 ，并且電流  可以通過施加或通過增廣先前的電標勢和電流方程來同時計算。這種情況的典型例子是亥姆霍茲線圈的磁場。

當移至時域時，我們求解以下方程式：

 
其中，。

該方程式僅考慮傳導電流和感應電流，而不考慮位移電流。如果功率傳輸主要是通過傳導而不是輻射進行，這就是合理的。求解此方程式的一個重要動機是，是否存在材料非線性，例如，E 型磁芯變壓器這個示例的 BH 非線性材料。但是，應該指出的是，還有通過等效 HB 曲線方法求解 BH 非線性材料的替代方法。

當我們進入頻域時，控制方程變為：

 
請注意，該方程式同時考慮了傳導電流 ，以及位移電流 ，并且開始看起來非常類似于波動方程。實際上，在假設輻射可忽略不計的情況下，該方程可解決結構諧振及其周圍頻率的問題，如這個示例所示：三維電感器模擬。

有關上述方程組在磁場模擬中的用法的更完整介紹，請參閱我們關于電磁線圈建模的系列講座。

也可以將磁標勢方程式和矢勢方程式混合，這在電動機和發電機模擬中都有應用。

除了上述關于磁矢勢和標勢的靜態、瞬態和頻域方程式之外，還存在關于磁場的單獨公式，適用于超導材料的模擬，例如以下所示的超導線示例。

使用 RF 模塊或波動光學模塊模擬頻域和時域中的波動方程

當我們進入高頻狀態時，電磁場在本質上會體現波動性，就像 天線、微波電路、光波導、微波加熱、自由空間中的散射和基底上對象的散射模擬一樣，我們在頻域中求解形式與麥克斯韋方程組稍有不同：

 
這個方程是用電場  來寫的，并且磁場的計算公式為： 。它既可以以一組指定的頻率來求解，也可以作為特征頻率問題來求解，它可以直接求解設備的諧振頻率。特征頻率分析的示例包括閉合腔、線圈和法布里-珀羅腔多個基準示例,，并且此類模型可以計算諧振頻率和品質因子。

在指定頻率范圍內求解系統響應時，可以直接在一組離散頻率上求解，在這種情況下，計算成本與指定頻率的數量成線性比例關系。人們也可以在單臺計算機和集群上利用硬件并行來并行化和加速求解。也有頻域模態和自適應頻率掃描（也稱為漸近波形估計）求解器，這些求解器可加速求解某些類型的問題，如本博文中的一般意義所述，并在此波導虹膜濾波器示例中進行了演示。

如果您要使用 RF 模塊或波動光學模塊在時域中求解，那么我們可以求解與 AC/DC 模塊中較早的方程非常相似的方程：

 
該方程式再次求解了磁矢勢，但是在時間上包括一階和二階導數，因此同時考慮了傳導電流和位移電流。它可用于光學非線性，色散材料和信號傳播的模擬。如本示例所示，時域結果還可以通過快速傅立葉變換求解器轉換為頻域。

這些等式在存儲方面的計算要求也是一個問題。感興趣的設備及其周圍的空間通過有限元網格離散化，并且該網格必須足夠精細以解析波。也就是說，至少必須滿足奈奎斯特準則。實際上，這意味著大約 10x10x10 波長的域大?。ú豢紤]工作頻率）大約是 64GB RAM 的臺式計算機上可尋址內容的上限。隨著域大小的增加（或頻率增加），內存需求將與要求解的立方波長的數量成比例地增長。這意味著上述方程式非常適合于特征尺寸大約不大于感興趣的最高工作頻率下 10 倍波長的結構。但是，有兩種方法可以繞過此限制。

求解遠遠小于波長的對象周圍的類波場的一種方法是時域顯式方程。這求解了另一種形式的與時間相關的，且可以使用更少的內存來求解的麥克斯韋方程。它主要用于線性材料模擬，在某些情況下很有吸引力，例如用于計算背景場中對象的寬頻帶散射。

對于特定類型的光波導結構，存在另一種替代方法，可以在已知電場在傳播方向上的變化非常緩慢的頻域中求解。在這種情況下， 波動光學模塊中的波束包絡法變得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，電場為 ， 是電場包絡。

附加場  是所謂的必須已知的相函數，并將其指定為輸入。幸運的是，對于許多光波導問題，確實是這種情況?？梢酝瑫r求解一個或兩個這樣的波束包絡場。當可以使用這種方法時，其優點是內存要求遠遠低于本節開頭介紹的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光學玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模塊、RF 模塊和波動光學模塊之間選擇

AC/DC 模塊和 RF 模塊之間的分界線有點模糊。問我們自己幾個問題會有所幫助：

1. 我正在使用的設備會輻射大量能量嗎？我對計算諧振感興趣嗎？如果是這樣，則RF模塊更合適。

2. 設備是否比最高工作波長的波長小得多？我主要對磁場感興趣嗎？如果是這樣，則 AC/DC 模塊更合適。

如果您正好介于兩者之間，那么將這兩種產品都包含在模塊庫中是合理的。

在 RF 模塊和波動光學模塊之間選擇需要詢問您自己的應用。盡管在時域和頻域上，麥克斯韋方程組的全波形式在功能上存在許多重疊，但在邊界條件上仍存在一些細微差異。存在適用于微波設備模擬的所謂集總端口和集總元件邊界條件，它們只包含在 RF 模塊中。還請記住，只有“波動光學模塊”包含波束包絡公式。

就材料特性而言，這兩種產品具有不同的材料庫：RF 模塊提供了一套通用的電介質基底，而波動光學模塊則在光學和紅外頻帶中包含了上千種不同材料的折射率。有關此內容以及其他可用材料庫的更多詳細信息，請參見此博客文章。當然，如果您對設備模擬需求有特定疑問，請與我們聯系。

下圖概述了這些模塊之間的近似分界線。

使用射線光學模塊追蹤射線

如果要模擬大小是波長數千倍的設備，則不再可能通過有限元網格來解析波長。在這種情況下，我們還在射線光學模塊中提供了幾何光學方法。這種方法不直接求解麥克斯韋方程組，而是模擬空間追蹤光線。這種方法僅需要將反射表面和介電區域進行網格剖分，而不是均勻的自由空間。它適用于透鏡、望遠鏡、大型激光腔以及結構-熱-光學性能（STOP）分析的模擬。甚至可以將其與全波分析的輸出結合起來，如本示例所示的教程模型。

多物理場模擬

除了求解麥克斯韋方程組本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心優勢之一是求解幾個物理場之間存在耦合的問題。最常見的方法之一是麥克斯韋方程組和溫度之間的耦合，其中溫度的升高會影響電（以及熱）的特性。有關解決此類電熱問題的方法概述，參見此博客文章。

將結構變形與電場和磁場耦合也是很常見的。有時，這僅涉及變形，但有時，還涉及壓電、壓阻或磁致伸縮材料響應，甚至應力-光學響應。MEMS模塊具有用于靜電驅動諧振器的專用的用戶接口，其中施加的電場使設備偏置。結構接觸和接觸部分之間的電流流動也可以在電流模擬的背景下考慮。

但是，除了溫度和變形之外，您還可以將麥克斯韋方程組的電流耦合到化學過程，如電化學，電池和燃料電池，電沉積和腐蝕模塊所述。在“等離子體模塊”中，您甚至可以耦合到等離子體化學，并且通過“粒子追蹤模塊”，您可以通過電場和磁場追蹤帶電粒子。最后，我們的半導體模塊使用漂移擴散方程求解電荷傳輸。這些模塊中的每個模塊本身都是一個主題，因此我們不會在這里詳述。

來自http://cn.comsol.com/blogs/computational-electromagnetics-modeling-which-module-to-use/

作者by Walter Frei