在電力傳輸和消費電子等應用中，對溫度非線性材料的電磁熱進行建?？赡苤陵P重要，其中非線性是指材料的電導率和熱導率隨溫度而變化。在對這些非線性進行建模時，由于非線性材料屬性、邊界條件和幾何結構的組合，即使是經驗豐富的分析人員有時也會得到非常意想不到的結果。讓我們用一個非常簡單的例子來找出其中的原因。

了解歐姆定律和電阻熱

作為工程技術人員，我們首先學習的物理定律之一是歐姆定律：通過器件的電流等于施加的電壓差除以器件電阻，或 I = V/Re，其中電阻 Re 是器件幾何結構和材料電導率的函數。

在了解該定律后不久，我們可能還了解到器件內的耗散功率等于電流乘以電壓差，或 Q = IV，也可以寫為 Q = I2Re 或 Q = V2/Re。也許稍后在我們的研究中，我們還會了解熱導率和等效器件熱阻 Rt，這樣，我們可以從集總意義上通過 ΔT = QRt 計算器件相對于環境條件的溫升，然后可以使用 確定絕對器件溫度。

我們從這一點開始討論，設想一個完全集總的器件模型。（是的，一開始非常簡單，這部分甚至不需要使用 COMSOL Multiphysics? 軟件！）設想有一個電阻 Re=1 Ω、熱阻 Rt = 1 K/W 的集總器件。我們可以用恒定電壓驅動它，并計算溫度，，或者通過出現峰值溫度 的恒定電流驅動它。

我們選擇的環境溫度為 300 K 或 27°C，大約是室溫。現在，我們繪制器件集總溫度隨電壓（從 0 到 10 V）和電流（從 0 到 10 A）增加而變化的情況，如下圖所示。不出所料，我們看到溫度呈二次曲線規律升高。

假設屬性恒定，器件溫度隨外加電壓（左）和外加電流（右）變化的情況。

我們可能認為這條曲線可以用來預測更大范圍的操作條件。假設我們想要將器件驅動至其失效溫度700 K（427°C），材料在此溫度會熔化或蒸發。根據這條曲線，經過簡單的數學運算表明最大電壓為 20 V，最大電流為 20 A，但這完全是錯誤的！

將材料非線性引入簡單集總模型

此時，你可能已經準備好指出我們犯的一個簡單錯誤：在溫度變化的情況下，電阻不是恒定的。對于大多數金屬，電導率隨著溫度的升高而下降，由于電阻率與電導率相反，器件電阻率上升。因此，我們引入電阻率與溫度的關系：

這被稱為線性化電阻率模型，其中，ρ0 是參考溫度 下的參考電阻率，αe 是電阻率的溫度系數。

我們選擇 ρ0 = 1 Ω， = 300 K，αe = 1/200 K?，F在，當器件溫度為 300 K 時，電阻為 1 Ω，當器件溫度比設定溫度高 200 K 時，電阻為 2 Ω。集總溫度隨電壓和電流變化的方程現在變成：

和

這些方程稍微復雜一點（第一個是用 T 表示的二次方程），但仍然可以手工求解。溫度隨電壓和電流增加而變化的圖如下所示。

器件溫度隨外加電壓（左）和外加電流（右）的變化以及電阻率隨溫度的變化。

對于電壓驅動的問題，隨著溫度升高，電阻也會升高。由于電阻出現在溫度表達式的分母中，更高的電阻會降低溫度，我們看到溫度將低于 恒定電阻率情況下的溫度。如果我們用恒定電流驅動器件，分子中會出現與溫度相關的電阻。當我們增加電流時，電阻熱將高于 線性材料。

此時，我們可能會嘗試計算該器件能夠承受的最大電壓或電流，但你可能已經意識到我們已經犯下的第二個錯誤：我們還需要考慮熱阻的溫度依存性。對于金屬，我們可以合理地假設電導率和熱導率呈現相同的趨勢。因此，我們使用一個類似于我們之前使用的非線性表達式：

現在，我們的電壓驅動和電流驅動溫度方程變為：

和

盡管與以前略有不同，但這些非線性方程現在相當難以求解。仿真軟件開始變得更具吸引力！求解出這些方程后（我們設置 r0 = 1 K/W、αt = 1/400 K、 = 300 K），我們可以繪制器件溫度，如下所示。

器件溫度隨外加電壓（左）和外加電流（右）的變化以及電阻和熱阻隨溫度的變化。

注意，對于電流驅動的情況，溫度漸進地上升。由于電阻和熱阻都隨著溫度的升高而增加，因此器件溫度隨著電流的增加而急劇升高。隨著溫度上升到無窮大，這個問題變得無法求解。實際上這完全是預料之中的; 事實上，這就是你的汽車保險絲的基本工作原理?，F在，如果我們在 COMSOL Multiphysics 中求解這個問題，我們也可以將它作為一個瞬態模型（包含由于器件密度和比熱引起的熱質量）來求解，并預測器件溫度升至其失效點所需的時間。

幸好電壓驅動的情況要簡單一些。這里，我們也看到了一種可預測的現象：與我們只考慮與溫度相關的電導率時相比，熱阻率的上升會使溫度升高?，F在，有趣的一點是溫度仍低于恒定電阻率的情況。這有時也會讓人困惑，但請記住，其中一個非線性因素會降低 溫度，另一個會升高 溫度。一般來說，對于更復雜的模型（比如你將在 COMSOL Multiphysics 中構建的模型），你不知道哪個非線性因素將占主導地位。

我們在這里還會犯什么錯誤？我們使用了熱阻率的正 溫度系數。對于大多數金屬來說，這當然是正確的，但事實證明，對一些絕緣體來說，情況正好相反，玻璃就是一個常見的例子。通常，器件總熱阻主要是絕緣體的函數，而不是導電域的函數。此外，器件的熱阻應包括冷卻對周圍環境的影響。因此，自由對流（隨溫差增加）和輻射（對溫差具有四階依賴性）的影響也可以集中到這個單一的熱阻中。不過，現在，我們保持問題（相對）簡單，只需切換熱電阻率溫度系數 αt = -1/400 K 的符號，并直接比較驅動電壓高達 100 V 與驅動電流高達 100 A 的電壓驅動和電流驅動情況。

熱電阻率溫度系數為負的情況下器件溫度隨外加電壓（粉色）和外加電流（藍色）變化的情況。

我們現在看到一些截然不同的結果?？梢钥闯?，對于電壓和電流驅動的情況，溫度在低負載下大致呈二次方升高趨勢，但在較高負載下，由于熱阻降低，溫度升高開始趨于平緩。斜率雖然總是正的，但幅度減小了。電流驅動的情況開始漸進地接近 T = 700 K，但電壓驅動的情況一直顯著低于失效溫度。

這是一個重要的結果，也凸顯了另一個常見錯誤。這里我們用于電阻和熱阻的非線性材料模型是近似值，如果接近 700 K，這些近似值就開始失效。如果我們預期在這種情況下運行，我們應該回到文獻中，找到更復雜的材料模型。雖然我們現有的非線性材料模型確實解決了問題，但我們總是需要檢查它們在計算的工作溫度下是否仍然有效。當然，如果我們不接近這些操作條件，我們可以使用線性化電阻率模型（COMSOL Multiphysics 中的內置材料模型之一）。這樣我們的模型將是有效的。

我們現在可以從所有這些數據中看出，溫度與驅動電壓或電流的關系非常復雜。當考慮非線性材料時，溫度可能高于或低于使用恒定屬性時的溫度，溫度響應的斜率可以僅根據操作條件從非常陡峭變為非常平緩。

這些結果讓你徹底困惑了嗎？如果我們回去改變阻力表達式中的一個系數會是什么情況呢？某些材料的電阻率和熱阻率溫度系數為負，如果我們使用更復雜的非線性模型呢？即使是在這種簡單的集總器件情況下，你有信心說出關于預期溫度變化的信息，還是更愿意根據嚴格的計算來確認？

電熱分析中常見誤區的總結性思考

現實世界設備的情況如何？包含許多不同材料？不同的電導率和熱導率隨溫度變化？形狀復雜？你會僅在穩態條件下或在時域中模擬這種情況來了解溫度升高需要多長時間嗎？也許（實際上很可能） 還會包含非線性邊界條件，例如輻射和自由對流。我們不想通過單一集總熱阻來近似，你呢？如果幾乎什么都有！你如何進行分析？當然要使用 COMSOL Multiphysics！

來自http://cn.comsol.com/blogs/common-pitfalls-in-electrothermal-analysis/

作者bWalter Frei