在使用Abaqus，Comsol等軟件進(jìn)行薄層區(qū)域的力學(xué)分析過程中，例如在研究水壓致裂、裂縫擴展，接觸粘結(jié)滑移的這類薄層力學(xué)性質(zhì)時，我們經(jīng)常需要采用應(yīng)力-相對位移(σ-u)關(guān)系，而不是傳統(tǒng)本構(gòu)描述的應(yīng)力-應(yīng)變(σ-ε)關(guān)系來描述，例如Abaqus里面的Cohesive單元，Goodman單元，以及Comsol里的彈性薄層（在后面我把這類單元統(tǒng)稱為增量非線性力學(xué)薄層）。這類單元厚度非常小甚至為0，薄層兩側(cè)的節(jié)點（單元）用一組力（應(yīng)力）與相對位移的關(guān)系方程聯(lián)系起來，例如給出一個形式最為簡單的典型應(yīng)力-位移方程

此方程描述了1,2,3方向（通常是法向和兩個切向）上相對位移與應(yīng)力的關(guān)系，應(yīng)力與相對位移呈線性關(guān)系，類似于“線性彈簧”。但是對于土-結(jié)構(gòu)接觸、裂縫的張開閉合這類問題，線性方程已經(jīng)不足以準(zhǔn)確描述這些物理量之間的關(guān)系，這時就需要引入增量非線性方程來構(gòu)建薄層單元。

引入增量非線性薄層的概念之前，首先介紹一下全量非線性薄層以理解非線性的概念，首先給出以下公式

這是一個全量非線性薄層，其非線性的表現(xiàn)可以用下面幾個例子體現(xiàn)，

對比①和②項，可以發(fā)現(xiàn)僅存在3方向上的位移變化的情況下，1，2方向上的力也會發(fā)生改變，體現(xiàn)了彈簧三個方向力學(xué)性質(zhì)的非獨立性，對比①和③項，可以發(fā)現(xiàn)力的大小并不和位移大小成正比，也就是非線性特征。

所以對于增量非線性方程，就是把應(yīng)力-位移關(guān)系方程寫成應(yīng)力增量-位移增量的關(guān)系方程，例如

寫成微分形式的好處是，可以體現(xiàn)出應(yīng)力路徑對位移結(jié)果的影響，也就是類似于“塑性”特征（所以所有的彈塑性本構(gòu)也都是增量方程）。但是對于此類微分方程的求解，必須給定一個力的初始值。

假設(shè)我們給定力的初始值σ=[0,0,0]^T并且給定兩次相同的位移增量Δu=[1,1,1]^T（這里采用向后差分法，引入時間變量，并對時間變量向后差分，也就是，），來看看力是如何變化的。

（初始條件）

通過增量方程，得到t₀與t₁時刻的增量矩陣以及t₁時刻與t₂時刻的力

對比可得，同樣的位移增量Δu，在不同的初始σ值下，會得到不同的Δσ值（標(biāo)紅），這就是一個典型的應(yīng)力-位移的增量分析非線性方程，其可以寫成以下形式

這就是增量非線性薄層的基本方程形式，根據(jù)矩陣中9個分量元素的不同不同可以構(gòu)建力學(xué)性質(zhì)不同的薄層單元，最用應(yīng)用于數(shù)值模擬軟件中。