非飽和滲流微分方程的基本形式

在引入非飽和方程前，我們首先來看一下非常簡單的飽和滲流方程（達西定律）：

（水頭與壓力的關系為，Z為高程）

不必多說，這個簡單的微分方程就描述了：在重力存在的情況下，水會從水頭高處流向水頭低處這一自然現象，滲透系數K與多孔材料的性質相關。
此方程是線性方程，因為K的值與H無關，是一個常量。

但是在多孔介質中，由于水表面張力的存在，自然會產生水壓力為負壓的非飽和區域。負壓區域的水并未充滿整個介質空間，飽和度Se≤1，滲透系數會隨飽和度的減小而減小，于是非飽和滲流方程表示非線性的以下形式：

方程因此變為非線性，因為K的值與H(p)有關，而非常量。

滲流場的求解

單位時間單位體積內流體質量守恒（j代表流體速度）

對于求解穩態流場，我們可以用有限元法，將邊界條件和上述控制方程代入即可迭代求解（非飽和滲流方程因非線性存在需要多次迭代）。

但是對于求解瞬態問題，多了一個時間變量t，因此只有上面這個速度方程是不夠的（多一個變量多一個方程），因為流體是存在一定的壓縮性的，某一時刻某單位體積內質量的變化量，等于流進流出質量的差值，于是對于瞬態問題還有以下質量守恒方程（不考慮物理化學反應生成）。

其中θ表示水體積分數，ρ為水密度，u是速度場。方程左邊兩項分別表示：單位時間單位體積內水質量（密度與體積分數乘積）變化，等于流進流出質量之差。

然后我們對這個微分方程稍微做進行一定的處理，使其出現水密度ρ和壓力p的關系項以及水體積分數θ與壓力p的關系項，因為這兩項的值相對更容易獲得。

由此接下來我們將轉換到對和的研究與獲取。

水與多孔介質的可壓縮性

在研究水的體積可壓縮特性（單位體積內流體的體積對壓力p的變化率）時，有以下定義，稱之為壓縮系數：

，單位Pa^-1

壓縮系數的倒數，可以認為是水的“體積彈性模量”，單位為Pa。

同理對于多孔介質來說，其壓縮系數等于固體顆粒的壓縮系數k_s乘上固體部分占總體積的比率1-θ_s。所以對于同種固體材料，多孔介質的孔隙比越大則壓縮系數越小，體積彈性模量越大，壓縮性越大。

因此含水多孔介質的可壓縮性由固體的可壓縮性和液體的可壓縮性組成，其中液體可視為近似不可壓縮，多孔介質的儲水來源于孔隙水和孔隙的壓縮。

滯留模型

在研究滲透系數，含水量和孔隙水壓力的關系時，Van Genuchten給出了一組描述K(p)-p以及θ-p關系的經驗方程：

k_r稱為折減系數，α、l、n、m為材料參數，滲透系數K可以用飽和滲透系數K_s乘上相對滲透系數k_r來表示，同時相對滲透系數k_r隨飽和度減小而減小，飽和度又隨孔隙水壓力的減小而減小，因此滲透系數可以表示為水壓力的而函數，在飽和時的值遠大于非飽和。在孔隙水壓由負轉正的過程中，多孔介質中液體體積分數θ的分布從一個最低值θ_r增大到孔隙率大小θ_s，同時有效飽和度Se也從0增大到1。單位容水度C_m描述了θ隨p變化的過程。下圖描述了這種變化。（注意此方程組只是經驗方程，非嚴格數學方法推導而來）

Van Genuchten 給出的水分滯留曲線

Richard方程的求解

接下來我們就可以將進一步分解：

于是質量守恒方程分解為

（其中）

方程中（此處做了θ約等于Seθ的近似），稱之為儲水系數，與多孔介質的物理力學性質有關；C_m為單位容水度，表示了單位壓力引起的體積含水量變化值，與多孔介質的細觀性質有關。(若飽和度Se=1，方程寫為，即是飽和滲流方程）。

Richard方程中由于ρ，S，Se，C_m都隨壓力p發生變化，所以此微分方程存在強非線性。不過由于我們進行了一系列數學分解，使得Richard方程中給定初始條件后僅這一項為未知項其他均為已知項，此時便可使用對時間t的向后差分法，一步步求解整個過程中的速度場與孔壓場。（例如給定初始時刻孔壓場，首先根據各個非飽和參數與壓力的關系求得K、Se、θ、C_m、S，再根據速度方程求出流場，最后代入質量守恒方程求得，給定一個很小的時間步長例如s，求得，則，重復上述步驟，直至求得給定時刻的孔壓以及速度場。）