【回復 搞定數學 獲取pdf。先點贊】這篇文章是“搞定數學”系列第一篇，主要講函數極限的基本計算方法。

一元函數的極限，計算不難，但后續的很多知識都要用到。

我現在能想到的典型題目有：根據極限確定參數的選擇題，求漸近線方程，與導數結合的概念選擇題、沒說函數可導情況求給定極限的大題。

武忠祥老師總結了九種方法。

我據此歸納了最常用的四種類型，加上幾個特定題型。

本文分為以下幾部分：

1. 高數整體

2. 注意事項

3. 替

4. 洛

5. 泰

6. 拉

7. 其他

高數整體

首先貼一張根據武忠祥老師課程整理的高數框架，幫大家理清知識體系：

【圖1.高數框架】

數學的具體復習方法，可以參考這篇：考研數學一經驗分享

超級強烈推薦武忠祥老師高數強化課的“函數、極限、連續”、“導數與微分”、“微分中值定理”這幾部分。

這些部分的計算看著簡單，但里面的概念非常深，可以出很難的概念選擇題。

當然，先別急，強化課要等基本計算沒問題后再聽。

這篇文章主要講函數極限的基本計算方法。

注意事項

1）先判斷一下屬于哪種類型，是 ，，還是，方便選擇做題方法。

2）要記得用基本運算化簡，比如平方差公式，比如乘積因子cosx極限為1就直接寫成1。

3）要記得使用條件，比如小量替換要看是否乘積因子，比如洛必達要看是否，。

替

替，指小量替換，這是最先學的方法，大家應該已經得心應手了吧。

基本的替換公式大家自己看書自己記。

補充幾個利用泰勒得到的替換：

x→0時，

，

這些替換有對稱美，很好記。

其中就是張宇老師的“狗減sin狗等于六分之一狗三”，

這個有意思的說法，確實讓當初的我消除了對泰勒公式的恐懼。

首先要提醒的，是替換的使用條件。

第一是替換項應該是乘積因子（加減項某些情況也可以，但我容易記錯，不太推薦用）。

第二是只能替換無窮小量。大家看下面這幾個式子就能理解：

1）

2)

3)

解釋一下第三個式子：

(洛必達)

=1

最后教大家一個超好用的結論：

對于型極限,可以直接寫成這樣：

比如

推導如下；

洛

洛，指洛必達法則，有時候必須用洛必達才能解，絕對不能忘記這個方法。

使用洛必達要注意使用條件:

第一是只適用于 或 類型。

第二是要求分子f(x)分母g(x)在極限的空心鄰域可導且g’(x)不為0.

第二個條件，更直接的用法是在后面 “導數與微分”部分中，有時候要用導數的定義去求某一點的導數值，

如果題目說“f(x)二階可導”，那洛必達一次出現f’(x)之后，就不能再用洛必達了。

如果題目說“f(x)二階連續可導”，那可以洛必達兩次，出現f’’(x)后，不能再用洛必達。

具體可以去看武老師的網課。

泰

泰，指泰勒公式，是我小量替換之外用得最多的一種方法。

大家可能會覺得泰勒公式比較難，但它其實就是一種更高階的小量替換。

小量替換部分補充的幾個公式，就是在用泰勒公式了。

想想張宇老師的“狗減sin狗等于六分之一狗三”，暫時先別管無窮小量，就會發現很簡單，很好用。

常用的也就是sinx，arcsinx，tanx，arctanx，ln(1+x)，cosx.記住前兩三項就行。

后面復習到級數部分時，會發現和展開公式是一樣的。

更熟練的使用就要求對無窮小量的運算有了解。

m,n為正整數時，

o(m)*o(n)=o(mn)

o(m)+o(n)=o(min(m,n))

上面這兩個不確定對不對，大家自己搜一搜。

在心里把o()直接當作就很容易理解。

拉

拉，指拉格朗日，不太常用，但近年考研考過幾次。

之前把這個方法概括在“夾”字里，因為覺得就是夾逼的思想，方便自己理解。

但畢竟不嚴謹，也怕大家弄混函數極限和數列極限，所以改回“拉”字。

大家不要聽到拉格朗日就害怕，思路很簡單。

使用這種方法的標志就是出現兩個同類函數相減。

利用的公式就是f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)，其中a<< span="">ξ<< span="">b。

那么就有，

當f’(ξ)在x=0的鄰域連續時，f’(ξ)就介于f’(a)與f’(b)之間。

看武忠祥老師講的這個例子：

=

 (極限存在，可以拆開)

其中

而 ，這就是夾逼的思想了。

轉成數列極限（假裝已經轉過了），根據夾逼定理就有

所以

有些“相同函數”比較隱蔽，大家要能看出來。

我記得2020年數學好像考到類似這樣的形式：。

它其實相當于，然后就能用柯西公式了。

拉格朗日也是同理，比如0=sin0=tan0=ln1=arcsin0，1==cos(pi/2)=arctan(pi/4)，要有一點這種意識，做大題可能用到。

其他

大家做題時，可以去試“替洛泰拉”，都不行就看看倒代換和有理化。

1）倒代換

2）分母有理化

3）以及一種特殊題型：

這種題最顯著的特點，一是x趨向負無窮，另外是分子或分母含有根號里的平方項。

這種題要注意的就是，根號里的提到外面后是|x|，而不是x。

結果為：

=1

---

這篇梳理了一些常見方法，但真正掌握還得靠自己多練習多總結。

同一個題往往要靈活結合多種方法，可以按“替洛泰拉”、倒代換、有理化這樣的順序去試。

不要忘記利用最基本的四則運算方法去化簡。

PS. 

數學知識的分享寫起來好難啊，做題可以熟練地算下去，但講清楚很不容易。沒積累足夠的例題，寫起來束手束腳的。

花了好幾天的午睡時間才寫完，不算公式也兩千多字了，打了大量公式的兩千多字啊，覺得有用就快去點贊。