如果你經常看論文，會發現建模的時候都用的下面的公式，其實建模我們已經很熟悉了，這不就是牛頓-歐拉方程嘛。

等等，牛頓方程怎么變形了？

多出來的

是什么？

關于牛頓方程，還得剛體定軸轉動開始說起。

果一個剛體繞固定的軸轉動，就像圖里顯示的一樣，我們隨便選擇一個點M分析，因為剛體上每個點的運動狀態是一樣的（轉動半徑不一樣），轉過的角度為\varphi(弧度)，半徑為r ,角速度為 w, 角加速度為a_{ang}。

我們先給這些變量做一些定義,什么是角速度呢？

什么是角加速度呢？

 我們只是簡寫成 A=\dot B 這種形式，不要忘了這些定義 ）

這個定義和我們直線運動里的速度加速度幾乎一樣，那我們是不是可以研究一下，角速度，角加速度和速度與加速的關系。

對于圓周運動，走過的路程是一段圓弧s:

(如果轉過的角度是2\pi,那走過的弧就是周長C)

我們對速度的定義就是路程對時間求導，所以我們對弧長求導：

原來切向速度v_t可以這么求呀。

那切向加速度呢？

千萬別忘了，還有向心加速度。

所以圓周運動與直線行動最不同的地方，直線運動，加速度只需要改變速度的大小。而圓周運動，需要切向加速度(at)改變速度的大小，和向心加速度(an)改變速度的方向。

說這怎么多，到底 \Omega x m V 是什么？

別急別急，你看這個公式里有個叉乘，顯然是向量，我們還需要把之前標量分析擴展到向量才會有答案。

定義角速度矢量：

k是轉軸z上的單位向量，即向量w的方向是垂直于旋轉平面的法向量。

那顯然角加速度肯定就跟角速在一個方向呀。

ok,現在我們來看看矢量形式下，速度，加速度，角速度，角角速之間的關系。

先看我們最熟悉的切向速度公式:

這里的 向量r 是矢徑 ，即原點O1到質點M的向量，即M點的位置向量，這個向量與轉軸z的夾角為\gamma。

為什么角速度叉乘矢徑就是速度呢？

其中R為M點的轉動半徑，可以看出模值確實是vt,那方向呢？

向量w叉乘向量r,根據右手法則，可得他們的方向垂直于w與r組成的平面，所以方向垂直于旋轉半徑R，與vt速度方向一致。

所以我們可以繼續得到加速度為：

根據之前的分析已知：

模值為：

同樣，方向用右手定則，垂直于a_ang于r組成的平面，即方向為垂直于旋轉半徑R，即切線方向。

所以：

對位置矢量r求導，得到的是速度向量，即：

同理其模值為：

方向垂直于w與v組成的平面，即指向圓心。

所以：

再來看看最初的牛頓方程：

參考資料：《理論力學》-西北工業大學教研室

ps:感謝同事給的參考資料，我在看論文的時候突然發現這個問題，當時有個思路問題，我覺的這個公式應該是加上了零一個空氣動力學里的力，所以把第二項單獨分析，結果根本搜索不到答案，如果認定F=ma,把m提出來，剩下的式子作為a去分析，應該能更快找到答案。

ok，我是zing,一個有趣的飛控工程師今天就講這么多，下期見。

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zinghd

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