一、非線性問題是什么？

在日常生活中，經常會遇到結構非線性問題。例如，當用釘書針釘紙張時，金屬釘書釘將永久地彎曲成一個不同的形狀(圖 1a)；在一個木架上放置重物，隨著時間的推移木架將越來越下垂(圖 1b)；汽車或卡車上裝載貨物時，輪胎和下面路面間接觸面將隨貨物重量變化(圖 1c)。如果將上述例子的載荷變形曲線畫出來，我們將發現它們都顯示了結構非線性的基本特征—結構剛度改變。

圖1：a、訂書針變形；b、書架變形；c、輪胎變形

導致結構剛度發生改變，產生非線性行為的原因有很多，主要歸結為三類：

• 材料非線性；

• 幾何非線性；

• 接觸非線性。

 圖 2 典型的非線性類型

1、材料非線性

非線性的應力─應變關系是結構產生非線性行為的常見原因。不同環境狀況(如溫度)、加載歷史(如在彈─塑性響應情況下)、加載的時間下(如在蠕變響應情況下)，材料表現出不同的應力-應變關系。金屬塑性變形、橡膠超彈性材料、粘彈性材料、混凝土、率相關蠕變等問題都是典型的材料非線性問題。

圖 3 典型的金屬材料拉伸曲線

2、幾何非線性

如果結構經受大變形，變化后的幾何形狀能引起結構非線性行為，我們稱這類響應為幾何非線性。一個典型的例子是圖4所示的釣魚桿。隨著垂向載荷的增加，桿不斷彎曲以致于力臂明顯地減少，導致桿端顯示出在較高載荷下不斷增大的剛性，許多細長結構都表現出此類特性。還有就是薄膜結構例如鼓面，當我們給它一個預張力的時候，面內的剛度也會增大。幾何非線性主要包括大轉動、大位移、剛度硬化和結構失穩等問題。

圖4 釣魚竿的幾何非線性

3、接觸非線性

兩個分離的表面接觸并發生剪切時，我們稱它們處于接觸狀態。一般而言，處于接觸狀態的表面具有以下特點：

(1)不產生相互穿透

(2)能夠傳遞法向壓力和切向摩擦力

(3)通常不傳遞法向拉力

接觸的這些特點使接觸表面之間可以緊貼在一起，也可以分開并遠離，從而產生不同的接觸狀態。隨著接觸狀態的改變，接觸表面的法向和切向剛度會有顯著的變化。因此，接觸是強非線性問題。仿真中，80%以上的非線性不收斂主要是由于接觸問題引起的。

圖5 梁發生接觸后，結構剛度變大

4、非線性分析方程求解

ANSYS程序的方程求解器通過計算一系列的聯立線性方程組來預測工程系統的響應。然而非線性結構的行為，不能直接由線性方程求得，一種近似的非線性求解是將載荷分成一系列的載荷增量，可以在幾個載荷步內或者在一個載荷步的幾個子步內施加載荷增量，每一個增量確定一個平衡條件，在每一個增量的求解完成后，程序調整剛度矩陣以反映結構剛度的非線性變化。這種方法我們把它叫做牛頓-拉普森平衡迭代法，或者直接叫做牛頓迭代法。

其中：

KiT為切向剛度矩陣；ΔUi為位移增量；F a是施加的載荷矢量；Fi nr為內力矢量。

下圖是一個載荷增量的迭代求解過程：

圖6 牛頓-拉普森平衡迭代過程

第一次迭代施加總載荷F a，對應的位移結果為X1，根據位移X1，計算內力F 1，若是 Fa≠ F1，系統不收斂，將進行剛度矩陣的修正，然后進行第二次迭代求解，第三次迭代……直至收斂。其中的差值Fa-Fi即外力與內力的偏差，也叫殘差力，殘差力需要足夠小（Fa≈F1 ，即內外力平衡）才能夠收斂，ANSYS程序中有相關的收斂準則定義。

二、非線性不收斂原因及ANSYS解決方案

ANSYS Mechanical具有強大的非線性計算能力，能夠對幾何非線性、材料非線性、接觸非線性、混合非線性等計算問題進行非常好的模擬仿真，是目前最強大的非線性問題計算軟件之一。針對非線性計算無法收斂的問題，我們主要可從以下方面著手：

1、首先從solution information中尋找突破點，找出報錯原因 。通過不同的報錯提示，可以幫助我們確定調整方向，例如確認是剛體位移導致的問題還是網格導致的問題。

2、建議在求解之前可以跟蹤關于變形、應力、接觸、殘差等物理量的信息 ，新版本軟件中在計算過程中可實時更新結果進行觀察。

3、通過力收斂圖表，觀察殘差圖和時間增量圖，檢查載荷子步數是否足夠： 一般是增加子步數或者減少時間步長，尤其對于大變形問題和非線性材料問題。

4、檢查模型是否存在約束不充分的情況：這主要是通過施加合理的約束方法來解決，例如施加弱彈簧、施加對稱約束、接觸調整、力載荷加載更改為位移載荷加載等。

5.檢查網格：尤其是錯誤信息提示有“單元出現嚴重扭曲”的語句時，通過手動改善網格質量或者非線性網格自適應技術改善收斂性。當然，單元出現嚴重扭曲的情況也有可能是載荷步過大引起，具體情況具體分析。

6、檢查材料參數設置 ：材料模型不正確意味著不合理的應力應變關系，在施加載荷后往往出現不合理的結構響應，導致自由度位移過大而不收斂。具體說就是檢查材料的楊氏模量、非線性材料參數等是否正確，尤其注意輸入材料參數時的單位問題。

7、檢查結構是否出現屈曲失穩：如果我們分析的結構在結構變形過程中出現了屈曲、剛度突變的情況，也是非線性不收斂的一個重要原因，此時需要采取增加增加結構阻尼或者使用弧長法來克服此類問題。

8、檢查接觸的設置：接觸是一個狀態非線性問題，很多結構不收斂的原因主要由接觸引起，此時可以通過調整不同的接觸參數來改善收斂性，例如更改接觸行為方式，法向罰剛度因子，pinball范圍大小，接觸探測方法等等。

9、檢查非線性求解器的選擇：Ansys默認的求解方法是迭代法（iterative），該方法求解快，需要內存較少，大多數情況，該方法是可行的。但有時候為了追求精度更高，更具有魯棒性，直接迭代法（direct）或許能更好的收斂。

10、嘗試用新版 本。ANSYS更新的版本或許針對求解器，針對接觸有更新、更好的設置。例如隨著版本不斷更新，ANSYS陸續增加了自適應網格技術、接觸剛度指數迭代技術、半隱式算法等等來幫助客戶應對更復雜的收斂問題。

作者 | reedy