非線性

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2012年11月20日 21:05

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第七章
非線性

這一章討論ABAQUS中的非線性結構分析。線性分析與非線性分析的區別概述如下：

線性分析

到目前為止所討論的分析實例均為線性情形，也就是施加的載荷和系統響應間存在線性關系。例如：如果一線性彈簧在10N的載荷下伸長1ｍ，那么施加20N的載荷就會伸長２ｍ。這意味著在線性分析中，結構的柔度陣只需計算一次（將剛度陣集成并求逆即可得到）。其它載荷情形下，結構的線性響應可通過將新的載荷向量與剛度陣的逆相乘得到。此外，結構對不同載荷情形的響應，可以用常數來進行比例變換或相互疊加的方式，來得到結構對一種完全新的載荷的響應，這要求那種新載荷是先前各載荷的線性組合。載荷的疊加原則假定所有的載荷的邊界條件相同。

ABAQUS 在線性動力學模擬中使用了載荷的疊加原理，這將在第九章進行討論。

非線性分析

結構的非線性問題指結構的剛度隨其變形而改變的分析問題。實際上所有的物理結構均為非線性的，而線性分析只是一種方便的近似，這對設計來說通常是足夠精確的。顯然，線性分析對包括加工過程的許多結構模擬來說是不夠的，象鍛造或沖壓、壓潰分析、及橡膠部件、輪胎和發動機墊圈分析等問題。一個簡單的例子就是具有非線性剛度響應的彈簧（見圖7-1）。

圖7-1
線性和非線性彈簧特性

由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以所施加的載荷的方法來計算任意載荷時彈簧的位移了。在非線性分析中結構的剛度陣在分析過程中必須進行許多次的生成、求逆，這使得非線性分析求解比線性分析昂貴得多。

由于非線性系統的響應不是所施加載荷的線性函數，因此不可能通過疊加來獲得不同載荷的解。每種載荷都必須作為獨立的分析進行定義及求解。

7.1
非線性的來源

在結構力學模擬中有三種非線性的來源：

·材料非線性

·邊界非線性

·幾何非線性

7.1.1
材料非線性

這種非線性也許是人們最熟悉的，并將在第八章中進行更深入的討論。大多數金屬在小應變時都具有良好的線性應力/應變關系，但在應變較大時材料會發生屈服，此時材料的響應變成了非線性和不可逆的（見圖7-2）。

圖7-2

彈－塑性材料軸向拉伸應力－應變曲線

橡膠可以近似認為具有非線性的、可逆的（彈性）響應的材料（見圖7-3）。

材料的非線性也可能與應變以外的其它因素有關。應變率相關材料的材料參數和材料失效都是材料非線性的表現形式。材料性質也可以是溫度和其它預先設定的場變量的函數。

圖7-3

橡膠類材料應力－應變曲線

7.1.2

邊界非線性

若邊界條件隨分析過程發生變化，就會產生邊界非線性問題。考慮圖7-4所示的懸臂梁，它隨施加的載荷發生撓曲，直至碰到障礙。

圖7-4

將碰到障礙物的懸臂梁

梁端部的豎向撓度與載荷在它接觸到障礙以前是線性關系。在端部碰到障礙時梁端部的邊界條件發生突然的變化，阻止豎向撓度繼續增大，因此梁的響應將不再是線性的。邊界非線性是極度不連續的，在模擬分析中發生接觸時，結構的響應特性會在瞬時發生很大的變化。

另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，板材在壓力下的伸展變形是相對容易產生的，在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓才能使板材繼續成型。

邊界條件非線性將在第十一章進行討論。

7.1.3
幾何非線性

第三種非線性的來源是與分析過程中模型的幾何改變相聯系的。幾何非線性發生在位移的大小影響到結構響應的情形。這可能由于：

·大撓度或轉動。

·“突然翻轉”。

·初應力或載荷硬化。

例如，考慮端部受豎向載荷的懸臂梁
（見圖7-5）。若端部撓度較小，分析時可以認為是近似線性的。然而若端部的撓度較大，結構的形狀乃至于其剛度都會發生改變。另外，若載荷不能保持與梁垂直，載荷對結構的作用將發生明顯的改變。當懸臂梁自由端部撓曲時，載荷可以分解為一個垂直于梁的分量和另一個沿梁的長度方向作用的分量。所有這些效應都會對懸臂梁的非線性響應作出貢獻（也就是梁的剛度隨它所承受載荷的增加而不斷變化）。

圖7-5