我與有限元_之有限元基礎(最終版)
CH1_什么是有限元　by caoer3
有限元是一種求解問題的數值方法，求解什么問題呢？－－求解PDE(偏微分方程).那么PDE是做什么用的呢？－－描述客觀物理世界。我想如果這兩個問題搞清楚了也就明白了為什么要用fem,fem可以做那些東西。 PDE可以描述很多物理現象，電磁，流體，換熱，diffusion,力學，河床變遷，物種競爭，股票金融，等等等等。。。。乃至整個宇宙，當然也不是所有的物理現象都可以用PDE描述，如微觀世界分子原子的運動等等，所以我從來都不建議用有限元方法仿真微觀物質現象的原因，但也有PDE應用于微觀位置如possion 方程來解析plasma的物理現象，這在量子物理里面用統計的方法過于龐大，潑松方程反而使問題簡單而且能吻合實驗，這些都是題外話就不多說了。除了PDE以外，ODE同樣也可以描述客觀世界，但ODE多用于控制系統，很有一些線性PDE的解法也都是將PDE轉化為ODE來做解析解的。
1.2 求解PDE
有了PDE以后，問題是如何求解并得到結果，首先要說明的是不是所有的PDE都有解的，往往有解的PDE才有實際工程意義。對于數值解法，常用的是有限差分，有限元和譜方法，還有蒙特卡羅法。有限差分出現的較早，計算精度相對較高，但是費時，且模型形狀必須規則，邊界條件處理困難，好處是可以比較方便的控制計算精度，適用于流體類的仿真。有限元方法效率高且滿足精度要求，邊界條件容易處理，得到了廣大的應用，尤其是固體領域。譜方法由于可以采用FFT方法的來求解，使得程序有著精度高，收斂快的特點，也克服了有限元條件下使用高階插值方程計算費時的缺點，常常使用periodic boundary condition，但也有越來越多的算法使得一類二類邊界成為可能，適合微觀尺度的PDE解，譜方法和有限元結合產生的譜元法取兩者之優點，使得應用前景非常好。蒙特卡羅法不是基于弱解形式的，隨機數的多維采樣最終得到統計上的結果，多用于金融分析。咱這里還是著重有限元解PDE，顧名思義，有限元將整個計算幾何模型劃分為很多小的單元（element）,每個單元的含有一定數量的節點(node)，具體單個單元有多少節點，有對應的不同算法與差值方程，拿一個簡單的線性4節點平面單元來說，每個單元包含4個節點，每個節點有對應的variable值，比如簡單固體力學問題，每個節點就有對應的位移值，熱力學問題每個節點就有對應的溫度值，等等。然后單元內部的variables就通過差值方法計算得出。..........................