1. SN曲線

S-N曲線是疲勞分析的基礎，它描述了材料應力與循環壽命的關系。由于材料的疲勞特性不可避免地存在分散性，因此中值S-N曲線實際上不能滿足工程設計和疲勞分析的需要，必須考慮疲勞試驗的統計特性。當需要考慮特定失效概率時S-N曲線被稱為P-S-N曲線。

我們將基于某材料的單軸拉伸試驗數據進行一次P-S-N曲線的制作。

2. 試驗方法及數據

一般S-N曲線使用單軸拉伸試驗數據制作。單軸疲勞是指材料或零件在單向循環載荷作用下所產生的失效現象。零件只受單向正應力（應變）或單向切應力（應變），如只承受單向“拉—壓”循環應力，彎曲應力或扭轉循環應力。單軸拉伸試驗數據使用單軸疲勞試驗機施加軸向拉壓載荷得出。

  

在有限疲勞壽命區采用成組法測試試樣的疲勞特性，應力分為5級。因為在高周疲勞區間，疲勞壽命的分散性很大，疲勞極限值可以通過升降法測定，循環基數一般為1e+07次。

本文忽略了疲勞極限的測定、數據檢驗和可疑數據取舍，假設試驗數據符合正態分布且樣本數量充足。

有這樣一組成組法疲勞試驗數據，應力比為R=-1，試驗環境為室溫，如下所示：

可以假設各個應力水平中，失效壽命呈現正態分布。將這些數據點繪制于雙對數坐標系：

3. 數據處理

3.1 由于材料的S-N特性在雙對數坐標系下呈線性，隨后將使用最小二乘法對數據進行線性擬合，因此將疲勞數據轉換為對數值：

3.2 計算各個應力水平子樣的平均值

使用公式：

計算結果：

x average(σa=450)	4.0761
x average(σa=353)	4.2634
x average(σa=273)	4.6228
x average(σa=204)	5.1891
x average(σa=171)	5.5633

3.3 計算各個應力水平子樣的標準差

計算結果：

S(σa=450)	0.0578
S(σa=353)	0.0385
S(σa=273)	0.0526
S(σa=204)	0.1688
S(σa=171)	0.1812

3.4 計算給定存活率P和標準正態偏差Up的概率疲勞壽命xp

概率疲勞壽命的計算公式如下：

當存活率P=99.9% 時，計算得到：

U_P=99.9% = -3.090

β值在標準差修正因數表中查找：

可以計算得到：

xp=0.999(σa=450)	3.8862
xp=0.999(σa=353)	4.1368
xp=0.999(σa=273)	4.4498
xp=0.999(σa=204)	4.6586
xp=0.999(σa=171)	4.9939

同理，可以計算得到當存活率P=90% 時的概率疲勞壽命：

xp=0.9(σa=450)	3.9974
xp=0.9(σa=353)	4.2109
xp=0.9(σa=273)	4.5511
xp=0.9(σa=204)	4.9691
xp=0.9(σa=171)	5.3271

3.5 使用最小二乘法擬合

使用最小二乘法對參數B和A進行估算：

本文采用冪函數擬合P-S-N曲線。

求得參數B和A后，使用如下關系求得疲勞強度指數b和疲勞強度系數S'_f :

使用上述公式求得如下參數：

1.存活率為50%時（使用3.2節求得的平均值）：

	-3.60594
	13.52685
b	-0.27732
S'f	5639.89

S-N函數表達式：

2.存活率為90%時：

	-3.15476
	12.29598
b	-0.31698
S'f	7899.404

S-N函數表達式：

3.存活率為99.9%時：

	-2.518
	10.5588
b	-0.3971
S'f	15607.4

S-N函數表達式：

將這3條P-S-N曲線繪制于同一坐標系下：

可見，存活率越高，S-N曲線的“高度”越低。

當使用較高的存活率進行疲勞分析時，得到的損傷值也會更高。

將試驗數據與P-S-N曲線繪制于同一坐標系下可以更好地顯示它們之間的關系：

4. 小結

本文簡單地描述了P-S-N曲線的制作過程，用制作P-S-N曲線的過程揭示了它的原理。

在此基礎上可以進行如下小節：

1)材料疲勞的分散性是不可避免的，并且這種分散性隨著應力幅的減小而更加顯著。因此在材料疲勞特性的試驗分析中必須引入失效概率，否則試驗數據無法滿足實際工程要求。

2)失效概率會顯著影響S-N曲線的“高低”，當設計師要求使用不同的存活概率進行CAE疲勞分析時，分析出的損傷值也會受到顯著影響。因此設計師必須慎重選擇存活概率。

參考文獻：

[1] 高鎮同，疲勞應用統計學 [M]. 北京：國防工業出版社, 1986

[2] Yung-Li Lee，疲勞試驗測試分析理論與實踐 [M]. 北京：國防工業出版社, 2011

[3] 伊為愷，疲勞試驗中的數據處理 [J]. 北京：洪都科技, 1995