從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲

安世亞太

2021年3月15日 17:13

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在一些船舶，例如客船和客滾船的結構設計中，經常接觸到比較“薄”的板。而目前規范對于板的屈曲校核普遍采用較為“統一”的方法，并未對“薄板”與“厚板”做區分。那對于“薄板”，我們現有的規范適用嗎？筆者最近讀到一本書《Trends in Analysis and Design of Marine Structures》，書中文章結合試驗，研究了薄板的屈曲性能，很有意思。結合自己對屈曲、薄板屈曲的理解和大家一起對這個問題做一次討論。

提出問題

近年來，隨著規范越來越復雜，計算工況越來越多，屈曲校核過程有“流程化”、“無腦化”的趨勢，用工程軟件自動加載、校核而后看“紅綠燈”是常規操作。借“薄板”這個話題來重新思考一下屈曲問題，相信會有所收獲。同樣的，課本知識 + 梁理論 + 有限元的組合拳是我們分析和研究的利器。

在展開討論之前，有幾個問題可以幫助大家思考：

1）多厚是“厚”，多薄是“薄”？
2）書本如何推導板格的縱向屈曲？
3）規范是如何規定板的屈曲能力的？

這里，筆者拋磚引玉給出一些參考。

問題1）： 首先板的厚與薄是相對的，我們要引入合適的無量綱參數作為比較。從書本中可知一般情況下縱骨架式板格的（歐拉）縱向屈曲應力可表示為：

t為板厚，s為骨材間距。可見，t/s是一個直接平方關系影響屈曲強度的無量綱數。板的厚與薄應該從t/s來考慮。而船舶海洋工程結構物，s一般在500mm到800mm的范圍，常規t從5mm到30mm的范圍。規范中對屈曲問題，考慮到建造、初始缺陷、焊接應力、破環案例、材料等等因素，公式也復雜一些。規范的無量綱參數β考慮了材料的屈服應力和楊氏模量：

可見，s一定時，t越小，β越大。一般油船、散貨船的β都在3以下，而客船、客滾船的β可達3~5甚至更大到6。我們可以以β = 3為線區分所謂的“薄”和“厚”。

另外，需要注意規范定義的初始缺陷的上限亦以s為基準（而不是t，如下圖所示），為s/200。這點比較容易被忽略，但它是屈曲分析的一大前提，后面將展開討論。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖4

問題2） 翻閱書本可知，板的穩定性問題是分兩步走的，臨界（彈性）屈曲和后屈曲。板的臨界屈曲求解是從板的中性平衡微分方程（即板在面外載荷q作用下的彎曲問題）入手的。然后考慮板的中性面受壓力和剪力，并令q=0，求解板的平衡解。這與求解壓桿穩定性，從梁的復雜彎曲入手，套路是一樣的。

公式推導這里不再列舉，這里是筆者自己對書本內容的工程理解，僅供參考和討論，也歡迎指正理解不到位的地方。

（1）板在中面受壓時，除了在受壓方向上的中面“壓縮”這個“解”之外，（數學上）在一定條件下還能“觸發”面外方向上的“解”，即板“拱”或“凹凸”起來。
（2）這個條件由壓載荷的值達到一定大小后“觸發”。壓桿表達為歐拉力公式，板表達為歐拉應力公式，彈性范圍內是僅和幾何和材料彈性模量、泊松比有關的值。
（3）與中面壓縮這個解不同，面外方向上的“解”一旦觸發，板格即失去穩定性。這個可以從兩方面理解，首先在數學求解上得到的只是板面外變形的“形式”，對其具體“幅值”，求解過程并無直接“限制”（可以通過引入能量法來做一定約束）；從剛度上理解，板一旦出現較大的面外變形，其面內的“軸向剛度”會失去作用，而換由板的“彎曲剛度”來抵抗面內載荷，而彎曲剛度是比軸向剛度要小得多。
（4）書本上這部分內容是從數學推導出發的，理論上適用性很廣，并無“厚”和“薄”的區別。

板的后屈曲性能 是區別板和壓桿屈曲的重要特點，即臨界屈曲后的“應力重分布”。當板格的β較大時（即所謂薄板），板格容易發生彈性屈曲，若板的邊界能提供有效支撐則板格能夠繼續承載，此時載荷主要由靠近邊界的“有效寬度”來承擔直至屈服，如下圖所示。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖5

書本上將一般情況下的有效寬度假設為兩邊各0.22s。筆者認為其不一定適用于薄板的情況。根據截面Type III（參考DNV-OS-C101， Appendix A）的要求，取板厚的某個倍數，如15倍左右的板厚比較適合。

問題3）書本和規范中對于不考慮應力重分布的板，其臨界應力σcr的計算分兩步，先計算歐拉應力σE，它僅和幾何及彈性模量E、泊松比ν有關。若σE /σy<=0.5，則σcr =σE，若σE /σy >0.5，則做修正得到σcr。即：

書本中， 對于考慮應力重分布的板格的極限強度σu ，表示為：

船舶共同規范CSR的定義為：

海工規范以DNV-RP-C201為例，形式上也基本相同（?M為大于1的材料系數，一般為1.15）：

試驗（數據引用于參考的文章）

參考的文章中，對一組矩形盒子經行了靜壓潰試驗。試驗尺寸和結果，以及CSR規范、有限元的評估結果如下，σy = 350MPa。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖11

由于CSR規范和有限元的結果都大于試驗值的結果，參考文章提出了當前船舶CSR規范和有限元結果都會高估所謂薄板屈曲性能的結論，并對規范做了進一步修正。

討論問題

從公式出發

終于到了自由討論環節。筆者有意在展示試驗數據前，先介紹了諸多書本上的內容作為鋪墊，作為接下來自己分析的參考。直觀上，對文章的結論有些補充想法。

首先，CSR共同規范作為油船、散貨船規范，雖然高估了試驗結果，但值得注意的是這個誤差似乎很穩定（至少比有限元的結果穩定）。再有，在非線性有限元計算中，關于初始缺陷的問題沒有具體的介紹，試驗前應仔細量取“初始缺陷”，并在有限元分析中充分考慮。

我們先來考慮σcr、書本上σu以及海工規范RP-C201的計算結果及其相互比較如下：

從下面比較的結果看，書本和CSR規范雖然都“高估”了，但公式中沒有包含安全系數，并且所謂“誤差”的百分比相對比較“穩定”。從帶安全系數的RP-C201（1.15的材料系數）的結果來看結果是可以接受的。另外，可以明確的是應力重分布對薄板屈曲性能的貢獻很大，因為σcr明顯低于最終得到的屈曲強度。

從有限元出發

筆者對M-250模型，基于DNV-RP-C208，采用弧長法做了有限元壓潰分析，并研究初始缺陷的影響。由于模型的長寬比為2，所以第一階段模態（即兩個半波，臨界應力120MPa）為主要初始缺陷模態（Model1）。同時，還關注一個半波的模態（Model2，臨界應力130MPa），因為它是焊接變形的常見形態。初始缺陷的幅值取s/200=1.25mm和s/100=2.5mm兩個來分析其敏感性。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖15

Imperfection Model 1

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖16

Imperfection Model 2

Model 1的結果

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖17

Model 1得到的結果，從結構極限狀態的形式來看十分接近試驗觀察的現象。采用1.25mm和2.5mm的初始缺陷幅值，結果比試驗分別大18%和12%。注意到若采用規范的安全格式，得到的結果應除以?M=1.15，則誤差僅為2%和-3%。

Model 2的結果

Model 2得到的結果，從數值上接近（略高于）Model1的結果，但從結構極限狀態的形式來看與試驗觀察的現象有所不同。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖18

Model 3的結果

為了進一步分析初始缺陷的敏感性，可以引入Model3作為Model1和Model2的組合。沿著長邊，板格的初始缺陷可直觀地表達為下圖。計算結果表面Model3的結果是接近Model1的，由此可知Model2的初始缺陷對結果影響不大（不敏感）。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖19

綜合討論（梁理論登場）

經過了書本、規范和有限元討論，我們對薄板屈曲的疑問是否得到解答？

筆者覺得通過有限元分析，可以明確對于β較大的板格，板的后屈曲強度（應力重分布）是問題的關鍵。

在本例中，應力重分布的結果是將截面“均勻承載”狀態轉變為板格的支持邊界，即四個L梁主要承載的狀態。30年前的規范中，有下圖來說明這個問題。事實上，板格能否實現或者多大程度上實現應力重分布，主要取決于板格的支撐條件。在本例中，板格的邊界實際上就是由如圖所示的L梁來支持的。當L梁承擔越來越多從板格上“轉移”過來的載荷而達到極限/屈曲狀態時，整個截面即達到極限承載能力。L梁的尺寸可以簡單地根據上文中提到的Type III截面來考慮，本里中可取L33x33x2.9。L梁可取Cuvre C來計算其Column Buckling的強度。

本例中，L梁的屈曲強度約為85%x350=297.5MPa，設L梁之間的板格的屈曲強度為σcr =100MPa。則總的屈曲強度為153MPa。考慮?M=1.15的安全系數153/1.15=133MPa，這與RP-C201的結果幾乎相同。可見用梁理論也可以驗證屈曲強度的結果。

從法規、理論公式到FEA探究薄板的縱向屈曲的圖20

小結

綜上所述，對于薄板的屈曲問題，因為臨界應力較低，其問題的重點已經不在于板，而是支持板的筋和桁材。對于縱骨架式，縱向的力主要由筋來承擔，橫向的力主要由桁材來承擔。而板（薄板）的主要“任務”是承擔面內剪切載荷。筋和桁材是不承擔面內剪切載荷的，它們只是作為板的“屈曲邊界”而起作用。由書本可知，板的剪切臨界屈曲強度要比單向屈曲強度要高出許多。

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