導讀：介紹數值計算的基本思想及常用方法。

基本思想

數值計算就把原來空間及時間坐標上連續的物理場（速度場、溫度場、壓力場等），用一系列有限個離散點（節點）上的值的集合來代替，通過離散方程建立這些離散點上變量值之間的關系，求解這些離散方程，最終獲得所求解變量的近似值。具體流程如下圖所示。

數值方法

1.有限差分法（FDM，finite difference method）

• 將求解區域用與坐標軸平行的一系列網格線條的交點所組成的點的集合來代替。
• 每個節點上，將控制方程中每一個導數用相應的差分表達式來代替，從而在每個節點上形成一個代數方程。
• 每個方程中都包括了本節點及其附近一些節點上的未知值，求解這些代數方程就獲得了所需的數值解。

缺陷：數值解的守恒性無法保證、復雜幾何的適應性。

2.有限容積法（FVM，finite volume method）

• 計算區域劃分為一系列控制容積，每個控制容積都有一個節點來代表。
• 通過將守恒型的控制方程對控制容積做積分來導出離散方程
• 導出過程中，需要對界面上被求函數本身及其一階導數作出假定，這種構成方式就是有限容積法中的離散格式。

優勢：保證了守恒性，并且離散方程具有明確的物理意義。

3.有限元法（FEM，finite element method）

• 將計算域分成一系列元體，每個元體取數個點作為節點，然后通過對控制方程做積分來獲得離散方程。
• 與有限容積法不同，FEM需要選定形狀函數，通過節點上被求變量來表示形狀函數，積分前將其帶入控制方程。
• 控制方程積分前需要乘上一個權函數。
  

對不規則區域適應性好，但同時也加大了計算量。

4.有限分析法（FAM，finite analytic method）

• 與有限差分法類似，用一系列網格線將區域離散；
• 不同的是，每個節點與相鄰的4個網格（二維）組成計算單元，也就是說一個計算單元由一個中心節點與8個鄰點組成。
• 在計算單元中將控制方程的非線性項局部線性化，并對單元上未知函數的變化型線做假設，把所選定的線型表達式中的系數和常數項用單元邊界節點上未知變量值表示，這樣計算單元中的被求問題就可以轉化為第一類邊界條件下的一個定解問題，可以得到解析解。
• 利用這個解析解，得出該單元中點及邊界上的8個鄰點上未知值間的代數方程，此即為單元中點的離散方程。

有限分析法的系數不像有限容積法中那樣有明確的物理意義，對不規則區域的適應性也較差。

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