一、Joh nson-Cook 塑性模型

J ohn son-Cook模型適用于較寬的應變率范圍和由塑性生熱引起絕熱溫升導致材料軟化的場合，該模型可以同時考慮材料的應變硬化、應變率硬化和熱軟化，應用廣泛。

J ohn son-Cook 模型實質上是將應變、應變率和溫度這三個變量進行了分離，用乘積的關系來處理三者對動態屈服應力的影響。屈服應力表達式為：

*式中，

是非零應變率時的屈服應力；A為參考應變率

和轉變溫度 下材料的初始屈服應力；B和n為參考應變率 （一般認為是準靜態）和轉變溫度 下材料應變硬化模量和硬化指數；C為材料應變率強化參數（在 及以下溫度測得）； 為等效塑性應變， 為等效塑性應變率；m為材料熱軟化參數。

1. 當在等效塑性應變率 等于參考塑性應變率 時， 為1，即不考慮應變率的影響，只考慮溫度的熱軟化：

為無量綱溫度，物理意義為屈服應力與溫度的相關性系數。其取值為：

式中， 為當前溫度； 為融化溫度； 為轉變溫度。當溫度：

在轉變溫度及以下，屈服應力的表達式沒有溫度的相關性，即 為0。

在熔化溫度及以上，材料將融化并表現的像流體，即 為1。

在轉變溫度和融化溫度之間時 在[ 0,1] 區間內。

2. 考慮應變率的影響時， J ohn son-Cook 應變率相關性假設：假設 為在非零應變率 時的屈服應力與在參考應變率 時的屈服應力的比值，即：

則應變率之間存在的關系可表示為：

求得：

且：

則同時考慮溫度軟化及應變率影響時：

二、 J ohn son-Cook 動態失效（累計損傷）

J ohn son-Cook 失效模型利用累計損傷來考慮材料的破壞，是基于單元積分點處的等效塑性應變而建立的，不考慮損傷對材料強度的影響，應力和壓力在損傷程度達到臨界值時取為零值。定義損傷參數為 ：

式中， 是一個時間步長的等效塑性應變增量； 是失效時的應變。

假定失效應變 取決于塑性應變率 ，壓力與等效應力之比p /q （p為壓力，q為Mi ses 等效應力），無量綱溫度 （屈服應力與溫度的相關性系數），并在 J ohn son-Cook 硬化模型的初始階段進行定義。假定相關性相互獨立，則：

式中，d ₁ -d ₅ 是在轉變溫度及以下溫度測得的失效參數。值得注意的是此表達式與Jo hnson 與Cook（1985）公布的原始公式在參數d ₃ 的符號上有所不同，因為大部分材料隨著壓力與等效應力之比的增加，其失效時的應變越大，所以上述表達式中d ₃ 通常采用正值。

三、幾點說明

1. 在沖擊載荷下，材料變形可近似看作絕熱過程，塑性應變能大部分轉化為熱能，導致溫度升高，溫度升高又會影響材料的響應，因此將塑性熱考慮到計算中才能準確的反應材料的響應。假定轉化系數為0.9，則溫度增量可通過應力與應變增量求得：

式中， ρ 為材料密度；Cp為材料比熱容； 為塑性應變。

2. 標準形式的 J ohn son-Cook 應變率項采用較為簡單的線性對數關系：

為增加應變率效應的敏感性，許多研究學者提出了多種形式的修正 J ohn son-Cook 模型。例如Hu h 和Kang（2002）提出了二次項形式：

此外 ， 還有其他三種 指數形式：

如 Allen、Rule 和 Jones (1997 ) 提出的 ：

Cowper-Symonds (1958) 形式：

非線性率指數形式 ：

3. Johnson-Cook 本構主要適用于應變率小于10 ⁴ s ^-1 的階段 ， 此階段控制塑性變形 的是位錯熱激活機制和由擴散控制的蠕變機制。在該階段隨變形速度的提高， 需更多的位錯源同 時開動，位錯之間的相互作用-相互纏繞，釘扎等， 使材料晶格中位錯密度和 位錯運動所需要的驅動力增大，則材料變形更加困難，宏觀表現為材料 臨界屈服應力增大。

而當應變率大于10 ⁴ s ^-1 時 ，由于變形速度快， 位錯“ 來不及” 滑移 ，材料變形更加困難，材料的應力-應變率對數關系發生變化，但 Johnson-Cook 模型描述的材料本構關系在數值模擬時往往沒有 應變率范圍的限制，且沒有隨應變率增加定義相應的對數關系變化， 這就使得 Johnson-Cook 模型在高應變率情況下 會低 估計屈服應力。