在ABAQUS中,當(dāng)需要獲取節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力時(shí),可以在后處理中建立路徑或者用查詢功能等獲取.

但是當(dāng)需要大量的節(jié)點(diǎn)上應(yīng)力數(shù)據(jù)時(shí),很多人會(huì)用Python編程進(jìn)行大批量的提取應(yīng)力.但是提取出來(lái)的應(yīng)力為單元積分點(diǎn)上的應(yīng)力.無(wú)法獲取節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力.同時(shí)在ABAQUS中的子程序中,也是對(duì)積分點(diǎn)上的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作.

本文基于個(gè)人興趣同時(shí)想要更加了解有限元背后原理和公式的想法.近日進(jìn)行了一些初步的探索.希望大家批評(píng)指正. 本文基本不涉及原理公式，只在轉(zhuǎn)換積分點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力時(shí)列出公式。盡可能簡(jiǎn)介易懂。

一: 單元類型及節(jié)點(diǎn)數(shù)目與位移,應(yīng)變,應(yīng)力階次的關(guān)系

本節(jié)內(nèi)容基于有限元教材及一些網(wǎng)上資料.

(1)有限元求解的思路是:

一: 建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式.

二: 將彈性體上的外載荷等效移置到節(jié)點(diǎn)上.

三: 在節(jié)點(diǎn)上建立力的平衡方程,求得節(jié)點(diǎn)位移.

四: 通過(guò)彈性力學(xué)基本方程,可求得單元的應(yīng)力和應(yīng)變.

(2) 四節(jié)點(diǎn)矩形單元

以四節(jié)點(diǎn)矩形單元為例，在此只表達(dá)有限元教材中的結(jié)論，具體公式可參考有限元教材。

（3）ABAQUS中的CPE4單元

CPE4:  A 4-node bilinear plane strain quadrilateral.

該單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，同時(shí)有四個(gè)積分點(diǎn)。

對(duì)于每個(gè)應(yīng)力分量（注意：在此只看一個(gè)應(yīng)力分量），單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的應(yīng)力表達(dá)式為：

stress=a*x*y+b*x+c*y+d    （1）

該表達(dá)式有四個(gè)未知量：a,b,c,d。

若知道四個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力分量。將每個(gè)積分點(diǎn)帶入上式，則會(huì)形成包含四個(gè)方程的線性方程組。（注意：變量是a,b,c,d,而不是x,y.所以方程組是線性的）

第一個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S1，(X1，Y1);

第二個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S2，(X2，Y2);

第三個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S3，(X3，Y3);

第四個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S4，(X4，Y4);

現(xiàn)在的問(wèn)題是：應(yīng)力分量S1，S2，S3，S4是已知的，我們需要知道真實(shí)的積分點(diǎn)的坐標(biāo)信息嗎？

答案：不需要，只需要知道積分點(diǎn)在整個(gè)單元相對(duì)位置即可。即等參元中的坐標(biāo)。（教材中有）

等參元的長(zhǎng)和寬都為2.

而有限元中的積分是高斯積分，積分點(diǎn)的位置是固定的。由查表可知：

上表是一維的高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)，后面的加權(quán)系數(shù)不用管（我們不求積分）。由一維可以猜出二維（兩個(gè)一維）。二維有4個(gè)積分點(diǎn)，所以我們對(duì)應(yīng)一維選第二行的數(shù)據(jù)。

最終四個(gè)積分點(diǎn)在等參元中的坐標(biāo)如下（順序目前是亂的，后面需要進(jìn)一步判斷）：

第一個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S1，(0.577，0.577);

第二個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S2，(0.577，-0.577);

第三個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S3，(-0.577，0.577);

第四個(gè)積分點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：S4，(-0.577，-0.577);

同時(shí)四個(gè)節(jié)點(diǎn)在等參元中的坐標(biāo)如下（順序目前是亂的，后面需要進(jìn)一步判斷）：

第一個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：(1，1);

第二個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：(1，-1);

第三個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：(-1，1);

第四個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和坐標(biāo)：(-1，-1);（因?yàn)榈葏⒃獮檫呴L(zhǎng)為2的正方形）

（4）求節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力

將四個(gè)已知的積分點(diǎn)數(shù)據(jù)代入應(yīng)力表達(dá)式（1）中：

S1=a*0.577*0.577+b*0.577+c*0.577+d

S2=-a*0.577*0.577+b*0.577-c*0.577+d

S3=-a*0.577*0.577-b*0.577+c*0.577+d

S4=a*0.577*0.577-b*0.577-c*0.577+d

換成矩陣形式：

求該線性方程組即可得出系數(shù)：a,b,c,d和應(yīng)力的表達(dá)式。

然后將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式即可求出相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。

其他的一維，二維和三維單元類似，希望大伙在下方批評(píng)指正，進(jìn)行交流。謝謝！

內(nèi)容寫到這里就差不多了，若要在ABAQUS中實(shí)現(xiàn)，需要做一些判斷來(lái)對(duì)積分點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行排序。將于近日出一個(gè)視頻教程進(jìn)行講解，并在ABAQUS中進(jìn)行操作，實(shí)現(xiàn)積分點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的轉(zhuǎn)換。

視頻地址：http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c16124