非線性問題是什么？

 

在日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到結(jié)構(gòu)非線性問題。例如，當(dāng)用釘書針釘紙張時(shí)，金屬釘書釘將永久地彎曲成一個(gè)不同的形狀(圖 1a)；在一個(gè)木架上放置重物，隨著時(shí)間的推移木架將越來(lái)越下垂(圖 1b)；汽車或卡車上裝載貨物時(shí)，輪胎和下面路面間接觸面將隨貨物重量變化(圖 1c)。如果將上述例子的載荷變形曲線畫出來(lái)，我們將發(fā)現(xiàn)它們都顯示了結(jié)構(gòu)非線性的基本特征—結(jié)構(gòu)剛度改變。

 

圖1 a、訂書針變形；b、書架變形；c、輪胎變形

 

導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生改變，產(chǎn)生非線性行為的原因有很多，主要?dú)w結(jié)為三類：

材料非線性；

幾何非線性；

接觸非線性。

 

圖 2 典型的非線性類型

 

材料非線性

非線性的應(yīng)力─應(yīng)變關(guān)系是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生非線性行為的常見原因。不同環(huán)境狀況(如溫度)、加載歷史(如在彈─塑性響應(yīng)情況下)、加載的時(shí)間下(如在蠕變響應(yīng)情況下)，材料表現(xiàn)出不同的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。金屬塑性變形、橡膠超彈性材料、粘彈性材料、混凝土、率相關(guān)蠕變等問題都是典型的材料非線性問題。

 

圖 3 典型的金屬材料拉伸曲線

 

幾何非線性

如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，變化后的幾何形狀能引起結(jié)構(gòu)非線性行為，我們稱這類響應(yīng)為幾何非線性。一個(gè)典型的例子是圖4所示的釣魚桿。隨著垂向載荷的增加，桿不斷彎曲以致于力臂明顯地減少，導(dǎo)致桿端顯示出在較高載荷下不斷增大的剛性，許多細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)都表現(xiàn)出此類特性。還有就是薄膜結(jié)構(gòu)例如鼓面，當(dāng)我們給它一個(gè)預(yù)張力的時(shí)候，面內(nèi)的剛度也會(huì)增大。幾何非線性主要包括大轉(zhuǎn)動(dòng)、大位移、剛度硬化和結(jié)構(gòu)失穩(wěn)等問題。

 

圖4 釣魚竿的幾何非線性

 

接觸非線性

兩個(gè)分離的表面接觸并發(fā)生剪切時(shí)，我們稱它們處于接觸狀態(tài)。一般而言，處于接觸狀態(tài)的表面具有以下特點(diǎn)：

(1)不產(chǎn)生相互穿透

(2)能夠傳遞法向壓力和切向摩擦力

(3)通常不傳遞法向拉力

 

接觸的這些特點(diǎn)使接觸表面之間可以緊貼在一起，也可以分開并遠(yuǎn)離，從而產(chǎn)生不同的接觸狀態(tài)。隨著接觸狀態(tài)的改變，接觸表面的法向和切向剛度會(huì)有顯著的變化。因此，接觸是強(qiáng)非線性問題。仿真中，80%以上的非線性不收斂主要是由于接觸問題引起的。

 

圖5 梁發(fā)生接觸后，結(jié)構(gòu)剛度變大

 

非線性分析方程求解

ANSYS程序的方程求解器通過計(jì)算一系列的聯(lián)立線性方程組來(lái)預(yù)測(cè)工程系統(tǒng)的響應(yīng)。然而非線性結(jié)構(gòu)的行為，不能直接由線性方程求得，一種近似的非線性求解是將載荷分成一系列的載荷增量，可以在幾個(gè)載荷步內(nèi)或者在一個(gè)載荷步的幾個(gè)子步內(nèi)施加載荷增量，每一個(gè)增量確定一個(gè)平衡條件，在每一個(gè)增量的求解完成后，程序調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的非線性變化。這種方法我們把它叫做牛頓-拉普森平衡迭代法，或者直接叫做牛頓迭代法。

 

其中：KiT為切向剛度矩陣；ΔUi為位移增量；F a是施加的載荷矢量；Fi nr為內(nèi)力矢量。

下圖是一個(gè)載荷增量的迭代求解過程：

 

圖6 牛頓-拉普森平衡迭代過程

 

第一次迭代施加總載荷F a，對(duì)應(yīng)的位移結(jié)果為X1，根據(jù)位移X1，計(jì)算內(nèi)力F 1，若是 Fa≠ F1，系統(tǒng)不收斂，將進(jìn)行剛度矩陣的修正，然后進(jìn)行第二次迭代求解，第三次迭代……直至收斂。其中的差值Fa-Fi即外力與內(nèi)力的偏差，也叫殘差力，殘差力需要足夠小（Fa≈F1 ，即內(nèi)外力平衡）才能夠收斂，ANSYS程序中有相關(guān)的收斂準(zhǔn)則定義。

 

非線性不收斂原因及ANSYS解決方案

 

ANSYS Mechanical具有強(qiáng)大的非線性計(jì)算能力，能夠?qū)缀畏蔷€性、材料非線性、接觸非線性、混合非線性等計(jì)算問題進(jìn)行非常好的模擬仿真，是目前最強(qiáng)大的非線性問題計(jì)算軟件之一。針對(duì)非線性計(jì)算無(wú)法收斂的問題，我們主要可從以下方面著手：

 

l  首先從solution information中尋找突破點(diǎn)，找出報(bào)錯(cuò)原因。通過不同的報(bào)錯(cuò)提示，可以幫助我們確定調(diào)整方向，例如確認(rèn)是剛體位移導(dǎo)致的問題還是網(wǎng)格導(dǎo)致的問題。

 

l  建議在求解之前可以跟蹤關(guān)于變形、應(yīng)力、接觸、殘差等物理量的信息，新版本軟件中在計(jì)算過程中可實(shí)時(shí)更新結(jié)果進(jìn)行觀察。

 

l  通過力收斂圖表，觀察殘差圖和時(shí)間增量圖，檢查載荷子步數(shù)是否足夠：一般是增加子步數(shù)或者減少時(shí)間步長(zhǎng)，尤其對(duì)于大變形問題和非線性材料問題。

 

 

l  檢查模型是否存在約束不充分的情況：這主要是通過施加合理的約束方法來(lái)解決，例如施加弱彈簧、施加對(duì)稱約束、接觸調(diào)整、力載荷加載更改為位移載荷加載等。

 

 

l  檢查網(wǎng)格：尤其是錯(cuò)誤信息提示有“單元出現(xiàn)嚴(yán)重扭曲”的語(yǔ)句時(shí)，通過手動(dòng)改善網(wǎng)格質(zhì)量或者非線性網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)改善收斂性。當(dāng)然，單元出現(xiàn)嚴(yán)重扭曲的情況也有可能是載荷步過大引起，具體情況具體分析。

 

 

l  檢查材料參數(shù)設(shè)置：材料模型不正確意味著不合理的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，在施加載荷后往往出現(xiàn)不合理的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，導(dǎo)致自由度位移過大而不收斂。具體說(shuō)就是檢查材料的楊氏模量、非線性材料參數(shù)等是否正確，尤其注意輸入材料參數(shù)時(shí)的單位問題。

 

 

l  檢查結(jié)構(gòu)是否出現(xiàn)屈曲失穩(wěn)：如果我們分析的結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)變形過程中出現(xiàn)了屈曲、剛度突變的情況，也是非線性不收斂的一個(gè)重要原因，此時(shí)需要采取增加增加結(jié)構(gòu)阻尼或者使用弧長(zhǎng)法來(lái)克服此類問題。

 

 

l  檢查接觸的設(shè)置：接觸是一個(gè)狀態(tài)非線性問題，很多結(jié)構(gòu)不收斂的原因主要由接觸引起，此時(shí)可以通過調(diào)整不同的接觸參數(shù)來(lái)改善收斂性，例如更改接觸行為方式，法向罰剛度因子，pinball范圍大小，接觸探測(cè)方法等等。

 

 

l  檢查非線性求解器的選擇：Ansys默認(rèn)的求解方法是迭代法（iterative），該方法求解快，需要內(nèi)存較少，大多數(shù)情況，該方法是可行的。但有時(shí)候?yàn)榱俗非缶雀撸哂恤敯粜裕苯拥ǎ╠irect）或許能更好的收斂。

 

 

l  嘗試用新版本。ANSYS更新的版本或許針對(duì)求解器，針對(duì)接觸有更新、更好的設(shè)置。例如隨著版本不斷更新，ANSYS陸續(xù)增加了自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)、接觸剛度指數(shù)迭代技術(shù)、半隱式算法等等來(lái)幫助客戶應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的收斂問題。

 

 

總結(jié)

 

仿真分析中我們經(jīng)常會(huì)使用非線性分析來(lái)解決工程中的實(shí)際問題，其中遇到的不收斂問題是一件讓人非常“頭疼”的事情。ANSYS Mechanical具有很強(qiáng)的非線性分析計(jì)算能力，針對(duì)狀況百出的非線性不收斂問題具有不同的應(yīng)對(duì)策略，某種程度上讓我們解決這類問題時(shí)，能有“跡”可循，有“法”可醫(yī)。