齒輪是依靠齒的嚙合傳遞扭矩的輪狀機(jī)械零件。齒輪通過與其它齒狀機(jī)械零件（如另一齒輪、齒條、蝸桿）傳動，可實(shí)現(xiàn)改變轉(zhuǎn)速與扭矩、改變運(yùn)動方向和改變運(yùn)動形式等功能。在工作過程中，齒輪可能會由于機(jī)械振動而產(chǎn)生噪聲，這樣會降低齒輪的嚙合精度和傳遞效率，從而影響齒輪的壽命。

本文以ABAQUS有限元分析軟件為平臺，對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，提取了前6階固有頻率與振型，通過不同材料和腹板倒角的齒輪選擇，對固有頻率與振型變化趨勢的分析，為齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化及提供了設(shè)計依據(jù)，同時為進(jìn)一步的動力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

模態(tài)分析的基本理論

模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，指結(jié)構(gòu)在各頻率下的動態(tài)響應(yīng)，一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是其若干階模態(tài)振型的綜合。對于一般的多自由度系統(tǒng)來說，運(yùn)動都可以由其振動的模態(tài)來合成，有限元的模態(tài)分析就是建立模型模態(tài)進(jìn)行數(shù)值分析的過程，其運(yùn)動微分方程是

式中，[M] 為質(zhì)量矩陣，[C] 為阻尼矩陣，[K] 為剛度矩陣；X(t) 為系統(tǒng)各點(diǎn)的位移響應(yīng)向量；F(t) 為系統(tǒng)各點(diǎn)的激勵力向量。

對于無阻尼無振動的自由系統(tǒng)來說，阻尼項和外力項都是零，于是上述微分方程可以化為

由于彈性體的自由振動可以分為一系列的簡諧運(yùn)動的疊加，為了確定彈性體的自由振動固有頻率和振型，考慮簡諧運(yùn)動的解為

帶入上式

這是一個關(guān)于{x(t)} 的n 元線性齊次代數(shù)方程組，該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式等于0，即

該行列式稱為特征行列式，將它展開可得到關(guān)于w 的n 次代數(shù)式此式稱為系統(tǒng)頻率方程

假定系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都是正定的實(shí)對稱矩陣，在數(shù)學(xué)上可以證明，在這一條件下，頻率方程的n 個根均為正實(shí)根，他們對應(yīng)系統(tǒng)的n 個固有頻率，即這里假定各根互不相等，即沒有重根，因此可以由小到大排列為w12<w22 <w32<...wn2，將求得的wi (i=1,2,3....n)帶入簡諧運(yùn)動的解得相應(yīng)的解{x(t)}，這就是系統(tǒng)的模態(tài)向量或振型向量。

齒輪有限元模型的建立

1. 齒輪建模

由于直接在abaqus中建立齒輪的模型比較麻煩，故先在solidworks中建立齒輪的三維模型，然后再導(dǎo)入abaqus中。

圖1 齒輪模型

2. 齒輪邊界約束

對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析的目的主要是獲得齒輪不同階下的固有頻率和振型，因而不需要對齒輪進(jìn)行加載，只需約束其邊界條件，根據(jù)齒輪的工作條件，對齒輪的內(nèi)圓柱面和鍵槽面的x、y、z方向的平動位移進(jìn)行約束。

3. 齒輪網(wǎng)格劃分

對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最大整體尺寸為3，幾何次數(shù)選擇線性攝動，選取單元類型為四面體單元C3D4。

有限元結(jié)果分析

1. 材料不同

不同材料的彈性模量和泊松比及密度不同，進(jìn)而會影響到齒輪的固有頻率和振型，本文中選擇灰口鑄鐵、球墨鑄鐵、鑄鋼、碳鋼和合金鋼。通過模態(tài)分析查看不同材料對于齒輪固有頻率的影響，因?yàn)榈碗A頻率對于結(jié)構(gòu)的振動影響較大，所以僅取了模態(tài)的前6階模態(tài)分析結(jié)果，圖2是齒輪的振型圖以及最大位移振動變化，由于不同材料的振型圖較多，故只選取碳鋼的齒輪的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖2 碳鋼齒輪的1、3、5階振型圖

由振型圖可以很直觀的看出齒輪的振動形態(tài)，觀察到齒根處和輪齒為齒輪的薄弱環(huán)節(jié)，在低階情況下，通過分析不同材料齒輪的振型圖，可以發(fā)現(xiàn)齒輪的振型主要為扭轉(zhuǎn)和彎曲振動，齒輪的階數(shù)越高，振動的位移越大，齒輪振動越劇烈，噪音越大。表1是不同材料的齒輪在不同階下的固有頻率，并將數(shù)據(jù)繪制成曲線圖，如圖3所示。

表1 不同材料齒輪的固有頻率（單位：KHZ）

圖3 不同材料與固有頻率之間的關(guān)系

圖3表明，對同一種材料，振動階數(shù)越大，其固有頻率越大在階數(shù)相同的情況下，材料的彈性模量越大，其固有頻率越大；并且在2-3階之間，頻率增大非常明顯。

2. 腹板厚度不同

下面來研究腹板厚度對于齒輪固有頻率的影響。齒輪的材料為碳鋼，通過改變齒輪腹板的厚度來改變齒輪結(jié)構(gòu)，通過腹板厚度的不同來分析齒輪固有頻率的變化規(guī)律。該模態(tài)分析中腹板厚度取值為D=4,8,12,16,20，由于振型圖較多，下圖4是選取齒輪腹板厚度D=4時的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖4 腹板厚度D=4的齒輪1、3、5階振型圖

通過改變腹板厚度來改變齒輪的結(jié)構(gòu)，來查看不同的齒輪結(jié)構(gòu)對于齒輪的固有頻率的影響，在齒輪鑄造時候，可以作為腹板厚度的參考依據(jù)，選擇合理的厚度，可以一步減輕齒輪的振動，減少齒輪振動時候的噪音，為齒輪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供理論依據(jù)。

表2 不同腹板厚度齒輪的固有頻率（單位：KHZ）

圖5 不同腹板厚度與固有頻率之間的關(guān)系

圖5表明，在階數(shù)相同的情況下，齒輪腹板的厚度越大，則齒輪的固有頻率越大。隨著階數(shù)的增加，齒輪的固有頻率會呈現(xiàn)遞增的趨勢；在腹板相同的情況下，階數(shù)越高，則齒輪的固有頻率越大。

     結(jié)   論     

從上述曲線和圖形表明：

• 齒輪的固有頻率與齒輪的材料有關(guān)，在相同階數(shù)的情況下，齒輪材料的彈性模量越大，則齒輪的固有頻率越大；

• 齒輪的固有頻率和齒輪的結(jié)構(gòu)有關(guān)，在相同階數(shù)的情況下，齒輪的固有頻率隨腹板厚度的增大而增大；

• 齒輪的低階振型主要為扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動，階數(shù)越高，振動位移越大，從振型圖可以看出齒輪的薄弱環(huán)節(jié)在齒根處和輪齒接觸面上，從而可以對齒輪進(jìn)行針對性優(yōu)化。

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