【理論知識】Hashin復合材料漸進失效模型原理及參數詳解
在之前的文章里曾經多次提到過Hashin準則，這是目前區分失效模式的判據中應用最廣泛的判據之一，已被Abaqus、Ansys、MSC等大型商業軟件所集成。無論中文還是外文有關采用Hashin準則進行復合材料漸進失效分析的文章也是鋪天蓋地、數不勝數，Hashin于1980年發表的一篇單向纖維增強復合材料失效準則的文章被引用了3790次。在提出該理論時，本來是用于預測單向復合材料失效行為的，然鵝，目前大家基本都在將其應用于層壓板的失效預測。
關于Hashin準則的描述以及在WWFE中的表現，之前已經撰文描述過，此處不再贅述，感興趣的可以點擊下方鏈接了解詳情。
聊一聊世界復合材料失效運動會（WWFE）——搞復材失效而不知WWFE你就out了
復合材料失效理論知多少？（一）
本文主要講解一下Abaqus中使用Hashin失效判據以及基于能量的演化判據進行漸進失效分析時各種參數和變量的定義和來由。有一些讀者對這兩者的組合使用的非常熟練，但并不了解損傷演化過程中失效判據和臨界應變能釋放率是如何控制損傷擴展的，希望通過本文能幫助讀者對復合材料漸進失效分析有進一步的認識。
01 二維應力應變關系
在Abaqus中Hashin失效準則適用于常規殼單元或者連續殼單元，對應的材料模型為Lamina，應力應變關系如下：
其中，各參數滿足穩定性約束條件：
寫成剛度矩陣的表達式如下：
簡寫為：
其中，C0為無損狀態下的彈性矩陣。
欲表征材料的應力應變關系，在CAE中僅需要輸入彈性常數即可。
圖1
02 二維Hashin準則表達式
在Abaqus中引入的二維的Hashin失效準則，共分為縱向拉伸（纖維方向拉伸）、縱向壓縮（纖維方向壓縮）、橫向拉伸（垂直纖維方向拉伸）、橫向壓縮（垂直纖維方向壓縮）等四種失效模式。
上述四個公式用于判斷的是材料點的損傷起始，當Fft達到1的時候，表示該材料點纖維方向拉伸損傷剛剛開始，小于1的時候，材料纖維方向無拉伸損傷。其他同理。絕大部分論文僅引用了這四個公式就去做漸進失效分析了，是不完整的，這僅僅能預測損傷的起始，還缺乏損傷起始以后的剛度退化。
與損傷起始相關的是6個強度值，定義如下，6個參數分別是：縱向拉伸強度XT，縱向壓縮強度XC，橫向拉伸強度YT，橫向壓縮強度YC，縱向剪切強度SL，橫向剪切強度ST。
圖2
03 基于能量的損傷演化
定義損傷演化參數的界面如下，輸入四種失效模式對應的斷裂能:縱向拉伸斷裂能Gftc,縱向壓縮斷裂能Gfcc,橫向拉伸斷裂能Gmtc,橫向壓縮斷裂能Gmcc。(斷裂能，即臨界應變能釋放率，是裂紋擴展單位面積所需要的能量，一般單位取為N/m，J/m2，N/mm或mJ/mm2。
有關纖維方向斷裂韌性測試的文章可點擊以下鏈接：
復合材料纖維方向斷裂韌性的測量方法
圖3
單純使用ABAQUS內嵌的漸進失效模型進行失效分析時，了解這些輸入參數的物理意義就足夠了。
如果進一步深究或者自己去寫漸進損傷分析的程序，還會存在一些問題，比如上述斷裂能是如何起作用的呢？尤其是四種失效模式均為多應力狀態下的復合判據，損傷狀態變量又是如何求解的呢？損傷狀態變量又是如何控制剛度的衰減的呢？
04 損傷狀態變量的求解
損傷起始以后，材料的剛度將會發生逐漸退化，此時開始進入損傷演化階段，材料的剛度退化程度用損傷狀態變量d來表示。
含損傷的材料應力應變關系為：
其中：
上述公式中，
df,dm,ds的表達式又是這樣子的：
即纖維方向的損傷取決于纖維方向拉伸損傷狀態dft和纖維方向壓縮損傷狀態dfc，二者只能發生其中的一種，具體發生哪種由沿纖維方向的應力σ11決定，當σ11>=0時，潛在發生的是纖維方向的拉伸損傷，取df=dft，反之，發生纖維方向的壓縮損傷，取df=dfc。df的值介于0~1之間，0代表材料完好，1代表徹底失效。
同理，可以得到dm的值。
另外，無論纖維和基體發生拉伸還是壓縮損傷，材料均失去承受剪切載荷的能力，因此剪切損傷變量ds并非獨立的損傷狀態變量，ds取決于獨立損傷狀態變量dft, dfc, dmt, dmc，只要四個損傷狀態中有一個不為0，ds則不為0，四個狀態變量有一個達到1，ds必然為1。
那獨立的損傷狀態dft,dfc,dmt,dmc又是如何求解的呢？
05 獨立損傷狀態變量的求解
幫助文檔以及其他能查到的資料中都給出了下列損傷狀態變量d的統一表達式和原理圖，卻并沒有給出詳細的解釋。
圖4
d即為獨立的損傷狀態變量，要想理解損傷狀態計算公式，首先需要引入兩個變量定義，
那么，
注意上標0以及紅框中標記的限定詞“剛好達到1時”，這是理論上的數值，即某一種判據恰好判斷因子等于1的一瞬間所記錄下的等效位移，記為
該變量代表的是某個材料點某種失效模式下的損傷起始位移，對應的是上圖4三角形頂點的橫坐標。該損傷起始位移并非一個恒定不變的材料常數，而是隨著材料點的應力狀態而變化的，不同的單元有可能得到不同的損傷起始位移值。這一點也是很多人不解的地方。在自己寫子程序的時候，正確理解這一點很重要。
類似地，當某種失效判據判斷因子恰好達到1時，記錄下該時刻的等效應力，該等效應力即為當前材料點在當前應力狀態下，某種失效模式所對應的等效強度，也就是上圖中三角形頂點對應的縱坐標。同樣，等效強度也不是恒定不變的材料常數。
具體到不同失效模式下，等效位移和等效應力的表達式也是有所不同的，在Abaqus中，纖維拉伸、纖維壓縮、基體拉伸、基體壓縮狀態下四種等效位移和等效應力的表達式如下：
其中，Lc為單元的特征長度，一階面單元中特征長度是面積的平方根，一階體單元中，特征長度是體積的立方根。
根據上述公式，再加上四種失效判據的公式，隨著載荷的不斷增加，就可以得到每個材料點每一種失效模式下的損傷起始位移和等效強度，損傷起始位移表達式如下：
等效強度表達式如下：
至此，每種失效模式下，損傷演化部分的損傷起始位移和等效強度就求解出來了，也就是本構三角形頂點對應的橫坐標和縱坐標已知了。未知的是三角形底邊的長，對應的也就是每個材料點上徹底失效時的位移。
圖5
每種失效模式徹底失效時對應的失效位移計算公式很簡單：
其中Gc為臨界應變能釋放率，也就是在CAE中輸入的損傷演化部分的斷裂能(前面提到的Gftc,Gfcc,Gmtc,Gmcc)，也是三角形的面積。底邊的長度即為兩倍三角形的面積除以三角形的高，高就是等效強度，已在上一步求解得出。此時三角形中的各參數都已經可以求解出，就可以帶入獨立損傷狀態變量d的計算公式了。
圖6
以纖維拉伸失效為例，
同樣的方式，四種獨立的損傷狀態變量就都可以求解出來了。
四種獨立的損傷狀態變量對應的斷裂能在圖3中輸入。
文中多次提到失效判據判斷因子恰好等于的一刻，這僅僅是理論解，在實際的程序計算中，幾乎不可能使判斷因子恰好等于1，有可能大于1，這種情況在自己寫子程序時也是必須要考慮的，以后再專門寫文章講解這個問題吧。
本文完結，文中后半部分某些公式為自己編寫，無參考文獻，表述不當之處，敬請批評指正。覺得有用，歡迎轉發！
文章轉自“復合材料力學”微信公眾平臺，作者君莫。
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