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       上篇文章我們主要研究了橫截面上的正應力。對于拉（壓）桿而言，橫截面上的應力可以用外力除以橫截面積計算。今天，我們將一起研究與橫截面成α角的任一斜截面k-k上的應力。假設該桿的橫截面為邊長10mm的正方形，長度為100mm，外力F=1000N。研究結構如下圖：

一、材料力學解法：

如果我們不考慮截開，則桿在橫截面（α=0）上的應力

σ ₀=F/A=1000/100=10MPa

式中，A為桿的橫截面積；

假想一平面沿斜截面k-k將桿截開，并研究左段的平衡可得，

F_α=F=1000N

P_α=F_α/A_α

A_α=A/cosα

所以，

P _α=(F/A)*cosα=σ ₀*cosα

總應力P _α是矢量，可以分解為沿截面法向的正應力σ _α和沿截面切向的切應力τ _α：

σ _α=P _α*cosα=σ ₀*cos ²α

τ _α=P _α*sinα=（σ ₀/2）*sin2α

上式表達了通過該拉桿內任意一點處不同方位橫截面上的正應力σ _α和切應力τ _α隨α角變化的規律：

1.當α=0°時，σ _α=σ ₀是σ _α的最大值；

2.當α=45°時，τ _α=σ ₀/2是τ _α的最大值；

3.當α=90°時，σ _α=0，τ _α=0。

對于該結構，

σ _max=10MPa

τ _max=5MPa

二、ANSYS解法：

       下面，我們用ANSYS驗證一下材料力學解法的準確性。通過該例子，學習在ANSYS中怎么提取任意截面上的應力。

1.確定分析類型：根據例題所示結構，確定分析類型為靜力學分析；

2.通過對該結構進行分析，我們需要提取任意截面上的切應力和正應力，所以我們使用solid單元進行計算。

Step1： 在SCDM中創建平面模型。

       首先，我們在SCDM中建立一個橫截面是邊長10mm的正方形，長度為100mm的長方體。建立完成以后，點擊菜單欄Workbench→ANSYS transfer→2020R1進入Workbench。

Step2：創建分析流程。

       將Static Structural拖入Project Schematic，并與剛才導入的幾何建立聯系。雙擊Model進入Mechanical。

Step3： 創建局部坐標系。

       我們想提取提取任意截面上的應力，必須先創建好截面，然后把結果映射在截面上。而截面的創建，是依靠坐標系的xy平面，所以在創建截面前，應先創建合適的局部坐標系。右鍵Coordinate System→Insert→

Coordinate System，建立第一個局部坐標系，并將該坐標系重命名為“0”，表示橫截面（α=0）使用的坐標系：在Details of Coordinate System中，將Origin中的Define By改為Global Coordinates，表示我們要依據Global Coordinates建立該局部坐標系；將Origin X設為50mm，表示該局部坐標系沿Global Coordinates的X軸平移50mm，目的是遠離約束區和受力區這些應力不太準確的位置；將Transformations中的Rotate Y設置為90，表示該局部坐標系繞Global Coordinates的Y軸旋轉90度，以保證xy平面與結構的橫截面平行，其余設置保持默認。同理，建立第二個局部坐標系，并重命名為“45”，表示斜截面（α=45）使用的坐標系：在局部坐標系“0”的Detailsof Coordinate System設置的基礎上，將Transformations中的Rotate X設置為-45，以保證xy平面與結構的橫截面的夾角為45度。然后建立第三個局部坐標系，并重命名為“90”，表示水平截面（α=90）使用的坐標系：在局部坐標系“0”的Details of Coordinate System基礎上，將Transformations中的Rotate X設置為-90，以保證xy平面與結構的橫截面的夾角為90度。至此，建立截面需要的局部坐標系建立完畢。

建立的坐標系如下圖所示：

Step4： 創建橫截面。

       依據step4創建的局部坐標系，創建橫截面。右鍵Modal→Insert→Construction Geometry→Surface，并將該surface重命名為“0”，表示橫截面（α=0°），在Details of “0”中，將Coordinate System設為0，表示該surface是依靠“0”坐標系建立。同理，新建名為“45”、“90”的截面，分別表示斜截面（α=45°）和平截面（α=90°）。

建立好的三個截面如下圖所示：

Step5： 網格劃分。

       由于該幾何結構簡單，所以我們將網格尺寸設為1mm，其余選項保持默認。

Step6： 載荷及約束設置。

1.載荷：一端施加1000N的軸向拉力；

2.約束：另一端施加固定約束。

Step7：求解及后處理。

       求解完成后，我們主要提取該結構的正應力和切應力：

1.正應力

       提取正應力的方式上篇文章已經介紹過，此處不再贅述。在Solution中插入Normal Stress后，將其重命名為“0”，表示在截面0上的正應力；在Details of Normal Stress中將Scoping Method改為Surface，將Surface設置為0，將Origin 設為Z Axis（此處的Z Axis為局部坐標系的Z Axis，即坐標系0的Z Axis），將Coordinate System設置為0。同理，分別插入名為“45”和“90”的斜截面45和平截面90上的Normal Stress。設置完成后，最后右擊Solution（B6），選擇Eevaluate All Results，提取結果。

通過正應力結果發現：

①橫截面（α=0）上的正應力最大，為10MPa，與材料力學計算結果一致；

②斜截面（α=45）上的正應力為5MPa，與材料力學計算結果一致；

③平截面（α=90）上的正應力最小，為0MPa，與材料力學計算結果一致；

2.切應力

       提取切應力的方式與正應力類似，此處不再贅述。在Solution中插入Shear Stress后，將其重命名為“0”，表示在截面0上的切應力；在Details of Shear Stress中將Scoping Method改為Surface，將Surface設置為0，將Origin 設為YZ Component（根據材料力學定義的切應力方向。我們知道，在一般的空間應力狀態中，有6個切應力分量，但由于切應力互等定理，獨立的切應力分量只有3個，此處提取的應該是τ _zy，讀者應特別注意），將Coordinate System設置為0。同理，分別插入名為“45”和“90”的斜截面45和平截面90上的Shear Stress。設置完成后，最后右擊Solution（B6），選擇Eevaluate All Results，提取結果。

①橫截面（α=0）上的切應力為0MPa，與材料力學計算結果一致；

②斜截面（α=45）上的切應力最大，為5MPa，與材料力學計算結果一致；

③平截面（α=90）上的切應力為0MPa，與材料力學計算結果一致；

       至此，該例題講解完畢。有的讀者可能會發現，在約束處附近的應力，比其他位置的數值要大，這就是由于固定約束引起的應力奇異現象，也是我們把橫截面建立在桿長中間位置的原因。

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