屈曲分析的基本概念

結(jié)構(gòu)在載荷作用下由于材料彈性性能發(fā)生變形，若變形后結(jié)構(gòu)上的載荷保持平衡，這種狀態(tài)稱為彈性平衡。如果結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)時(shí)受到擾動(dòng)而偏離平衡位置，當(dāng)擾動(dòng)消除后仍能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。反之，如果受到擾動(dòng)而偏離平衡位置，即使擾動(dòng)消除，結(jié)構(gòu)仍不能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，而結(jié)構(gòu)在新的狀態(tài)下平衡，則原來的平衡狀態(tài)就稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)結(jié)構(gòu)所受載荷達(dá)到某一值時(shí)，若增加一微小增量，則結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)將發(fā)生很大的改變，這種現(xiàn)象就叫做結(jié)構(gòu)失穩(wěn)或結(jié)構(gòu)屈曲。

三類失穩(wěn)的概念  

第一類失穩(wěn)：是理想化情況，即達(dá)到某個(gè)載荷時(shí)，除結(jié)構(gòu)原來的平衡狀態(tài)存在外，出現(xiàn)第二個(gè)平衡狀態(tài)，故又叫做平衡分叉失穩(wěn)，數(shù)學(xué)上就是求解特征值問題，又叫做特征值屈曲分析。對(duì)應(yīng)workbench的線性特征值分析（Linear Buckling Analysis 或Linear–based Eigenvalue Buckling）。

第二類失穩(wěn)：是結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，變形將大大發(fā)展，而不會(huì)出現(xiàn)新的變形形式，即平衡狀態(tài)發(fā)生質(zhì)變，也叫極頂失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)，相應(yīng)載荷叫做極限載荷，理想結(jié)構(gòu)或完善結(jié)構(gòu)不存在，總是存在這樣那樣的缺陷，大多數(shù)問題屬于第二類失穩(wěn)問題。對(duì)應(yīng)workbench的非線性特征值分析（Nonlinear –based Eigenvalue Buckling）。

第三類失穩(wěn)：是當(dāng)在和達(dá)到某值時(shí)，結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)發(fā)生一明顯跳躍，突然過渡到非臨近的另一具有較大位移的平衡狀態(tài)，稱為跳躍失穩(wěn)，跳躍失穩(wěn)沒有平衡分叉點(diǎn)，也沒有極值點(diǎn)，如坦拱、扁殼、二力桿的失穩(wěn)都屬于此類。對(duì)應(yīng)workbench的Static Structural，無論前屈曲平衡狀態(tài)或后屈曲平衡狀態(tài)均可一次計(jì)算求出，即全過程分析。

WB高低版本屈曲分析功能模塊區(qū)別

 

在低版本的wb中屈曲分析的功能模塊叫【Linear Buckling】，意思就是線性屈曲分析，而在高版本wb中則已將此功能模塊改為【Eigenvalue Buckling】，意思是特征值屈曲分析，不再是線性屈曲分析了，那么這一改動(dòng)究竟是為什么呢？在查看幫助文檔后，會(huì)發(fā)現(xiàn)高版本中關(guān)于Eigenvalue Buckling的介紹比低版本中關(guān)于Linear Buckling的介紹多了一部分內(nèi)容。低版本中的Linear Buckling功能模塊只能進(jìn)行線性特征值屈曲分析，而高版本中Eigenvalue Buckling功能模塊則除過進(jìn)行線性特征值屈曲分析外（Linear–based Eigenvalue Buckling），還能直接進(jìn)行非線性特征值屈曲分析（Nonlinear –based Eigenvalue Buckling）。

低版本wb中傳統(tǒng)的【Linear Buckling】，只能進(jìn)行理想化的線性特征值屈曲分析，無法進(jìn)行非線性特征值屈曲分析，非線性屈曲分析包含很多非線性狀態(tài)，比如材料的非線性，變形非線性，接觸非線性、含有初始幾何缺陷等等，在Linear Buckling功能模塊中是無法直接進(jìn)行這些非線性屈曲分析的，當(dāng)然可以通過Linear Buckling結(jié)合其它功能模塊經(jīng)過一些中間操作也可實(shí)現(xiàn)非線性屈曲分析，如施加有初始幾何缺陷的非線性分析。而新版本中的Eigenvalue Buckling功能模塊變得強(qiáng)大的多，可以直接在這一個(gè)模塊里面進(jìn)行非線性的特征值屈曲分析。我們看一看ANSYS幫助文檔里面關(guān)于Linear–based Eigenvalue Buckling和Nonlinear –based Eigenvalue Buckling介紹的區(qū)別。

【Linear–based Eigenvalue Buckling】與低版本中的【Linear Buckling】相同，需注意以下幾點(diǎn)：

（1）線性屈曲分析只能在靜力分析模塊中定義邊界。

（2）通過特征值屈曲分析計(jì)算的結(jié)果是在靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用所有載荷的屈曲載荷因子。例如，如果在靜態(tài)分析中對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)用10 N壓縮負(fù)載，如果特征值屈曲分析計(jì)算的載荷因子為1500，則預(yù)測的屈曲載荷或臨界失穩(wěn)載荷為1500×10N=15000N。因此，在屈曲分析之前的靜態(tài)分析中應(yīng)用單位載荷是一種典型的方法。

（3）在靜態(tài)分析中所施加的所有載荷都需要考慮載荷因子，即載荷因子是施加的所有載荷的比例因子，如果某些載荷是恒定的靜載荷（如重力載荷），而其它載荷是可變的（如施加的外部力載荷），則需要采取特殊步驟確保準(zhǔn)確的結(jié)果，通常可以使用一種方法叫迭代特征值法來調(diào)整可變載荷，直到屈曲載荷因子變?yōu)?.0（或接近1.0，在允許的誤差范圍內(nèi)），即保證了恒定靜載荷不被放大，如下圖所示：①中F=100+100W0是不正確的，直到③中載荷因子為0.99時(shí)得到的屈曲載荷F=111×0.99+0.99W0=110+0.99W0才是準(zhǔn)確的屈曲載荷。 

【Eigenvalue Buckling】與低版本中的【Linear Buckling】的不同之處在于：【Linear Buckling】功能模塊中進(jìn)行線性分析之前的預(yù)應(yīng)力分析Static Structure中不能定義任何的非線性，否則會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤信息：下圖中是在Static Structure將大變形開關(guān)打開，即出現(xiàn)了非線性狀態(tài)，那么在之后的【Linear Buckling】中是不能進(jìn)行分析的。 

但在【Eigenvalue Buckling】中則完井可以進(jìn)行分析，此時(shí)進(jìn)行的分析叫非線性特征值屈曲分析，即【Nonlinear –based Eigenvalue Buckling】，關(guān)于非線性特征值屈曲分析，在幫助文檔里面是這樣介紹并需要注意的：

（1）至少有一個(gè)非線性屬性在靜力分析中被定義，如打開大變形開關(guān)，存在接觸等。

（2）除過在靜力分析中定義的邊界條件和載荷外，還必須在屈曲分析中至少定義一個(gè)載荷來進(jìn)行求解，在屈曲分析中定義的載荷稱為初始擾動(dòng)載荷，軟件中有個(gè)功能叫“Keep Pre-Stress Load-Pattern”保持預(yù)應(yīng)力載荷加載模式，并將其屬性設(shè)置為“Yes”，意思是在屈曲分析中保留靜力結(jié)構(gòu)分析中所施加的邊界條件和載荷條件，如在靜力結(jié)構(gòu)分析中施加的載荷是0.1N，那么在屈曲分析中也保留了這個(gè)載荷0.1N的初始擾動(dòng)載荷，而在線性分析中則是沒有這個(gè)初始載荷的。這種新的加載模式在低版本中是完全沒有的功能，與預(yù)應(yīng)力分析完全不同，而且還可以將“Keep Pre-Stress Load-Pattern”屬性設(shè)置為“No”，并在屈曲分析中自己設(shè)置新的載荷，即不保留靜力分析中的載荷，如可將前面的0.1N自主修改成1N。但有一點(diǎn)特別不好的是，在屈曲分析中的重新施加載荷只能以節(jié)點(diǎn)載荷的形式施加，一般不建議重新進(jìn)行載荷的施加。

（3）非線性特征值屈曲分析時(shí)，這時(shí)候計(jì)算的載荷因子僅僅是屈曲分析中設(shè)置的載荷的比例因子，與線性屈曲分析完全不同，線性屈曲分析中計(jì)算的載荷因子是針對(duì)靜力分析中所有施加載荷的比例因子，包括靜載荷，而非線性特征值屈曲分析中的載荷因子僅僅是針對(duì)屈曲分析中施加的載荷，與靜力分析中施加的任何載荷均無任何關(guān)系，如上文所述的線性屈曲分析中有靜載荷的時(shí)候，載荷因子也是要乘以靜載荷的，所以需要調(diào)整載荷因子到1，才能保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，而對(duì)于非線性屈曲分析，則完全無需考慮了。在非線性特征值屈曲分析中計(jì)算屈曲載荷或臨界失穩(wěn)載荷的方法如下：

FBUCKLING = FRESTART + λi · FPERTRUB

FBUCKLING =結(jié)構(gòu)的屈曲載荷或臨界失穩(wěn)載荷；

FRESTART = 靜力分析中所施加的載荷；

λi =第i階屈曲模態(tài)的載荷因子；

FPERTRUB = 在屈曲分析中施加的初始擾動(dòng)載荷。

例如：如果在靜力分析中施加100N的集中力，且有恒定的重力載荷為200N，在屈曲分析中施加10N的力，計(jì)算的載荷因子為15，那么結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷=100+200+（15×10）=450N，不需要為了重力載荷而去將載荷因子調(diào)整為1了。

（4）假設(shè)一個(gè)懸臂梁的理論極限彎曲強(qiáng)度為1000N，受到250N集中力作用，線性屈曲分析和非線性屈曲分析的臨界失穩(wěn)載荷區(qū)別如下圖所示：

WB中高低版本屈曲分析實(shí)例對(duì)比

 

以一壓力容器中簡單的筒體上開孔為例，介紹低版本中【Linear Buckling】和高版本中【Nonlinear –based Eigenvalue Buckling】外壓屈曲計(jì)算的結(jié)果對(duì)比。

WB 14.5版本中【Linear Buckling】計(jì)算結(jié)果： 

如上圖所示：

當(dāng)P=0.01Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為1185.4，那么臨界失穩(wěn)載荷=0.01×1185.4=11.854Mpa；

當(dāng)P=0.1Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為118.54，那么臨界失穩(wěn)載荷=0. 1×118.54=11.854Mpa；

當(dāng)P=1.0Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為11.854，那么臨界失穩(wěn)載荷=1.0×11.854=11.854Mpa；

當(dāng)P=10Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為1.1854，那么臨界失穩(wěn)載荷=10×1.1854=11.854Mpa；

當(dāng)P=100Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為0.11854，那么臨界失穩(wěn)載荷=100×0.11854=11.854Mpa；

由上計(jì)算結(jié)果不難看出，不管載荷施加多少，最終的臨界失穩(wěn)載荷值是完全相同的，與施加的載荷值無關(guān)，這就是傳統(tǒng)的線性特征值屈曲分析方法，此時(shí)施加的載荷值筆者臨時(shí)給起個(gè)方便理解的名字叫“無量綱的假值”，無論這個(gè)值縮小或放大多少倍數(shù)，計(jì)算的載荷因子也隨著放大或縮小相應(yīng)的倍數(shù)，所以最終的臨界失穩(wěn)載荷值是不變的。

WB 19.2版本中【Linear–based Eigenvalue Buckling】與14.5版本中【Linear Buckling】的計(jì)算原理和結(jié)果完全是一致的。而【Nonlinear–based Eigenvalue Buckling】計(jì)算結(jié)果與區(qū)別如下：

在設(shè)置方面與【Linear Buckling】不同的是需要在靜力分析中將大變形開關(guān)打開，給其賦予非線性特性，另外在屈曲分析設(shè)置中將“Keep Pre-Stress Load-Pattern”屬性設(shè)置為“Yes”，給予屈曲分析一個(gè)初始的擾動(dòng)載荷，這也是軟件默認(rèn)的。

如上圖所示：

當(dāng)P=0.01Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為1184，那么臨界失穩(wěn)載荷=0.01+0.01×1184=11.85Mpa；

當(dāng)P=0.1Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為117.5，那么臨界失穩(wěn)載荷=0. 1+0.1×117.5=11.85Mpa；

當(dāng)P=1.0Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為10.851，那么臨界失穩(wěn)載荷=1.0+1×10.851=11.851Mpa；

當(dāng)P=10Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為0.089432，那么臨界失穩(wěn)載荷=10+10×0.089432=10.89432Mpa；

當(dāng)P=100Mpa時(shí)，靜力分析中直接出現(xiàn)非線性不收斂情況，最終無法計(jì)算載荷因子；

由上計(jì)算結(jié)果不難看出，非線性特征值屈曲分析的載荷值是不能隨便施加的，這個(gè)載荷值是個(gè)對(duì)計(jì)算結(jié)果有重要影響的“有量綱的真值”，因?yàn)檫@個(gè)值是作為初始擾動(dòng)載荷施加在屈曲分析中的，當(dāng)載荷較小的時(shí)候，計(jì)算的結(jié)果才是準(zhǔn)確的，如上面在P=0.01~1Mpa時(shí)候計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷幾乎相同，在P=10Mpa時(shí)，臨界失穩(wěn)載荷值是10.89Mpa，而當(dāng)P=100Mpa時(shí)，這個(gè)載荷值早已超出該結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷，出現(xiàn)超大的變形，且非線性計(jì)算無法收斂了。為了驗(yàn)證一下結(jié)果，筆者又試算了幾次，發(fā)現(xiàn)在P=10.3Mpa的時(shí)候就已經(jīng)出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象了，此時(shí)雖未超出臨界失穩(wěn)載荷，但這個(gè)初始擾動(dòng)載荷已經(jīng)達(dá)到失穩(wěn)載荷的87%了，已經(jīng)開始導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)出現(xiàn)超大變形而造成無法收斂的結(jié)果了。在P=10.2Mpa時(shí)計(jì)算結(jié)果如下圖所示： 

當(dāng)P=10.2Mpa時(shí)，計(jì)算的載荷因子為0.028881，那么臨界失穩(wěn)載荷=10.2+10.2×0.028881=10.4946Mpa；此時(shí)計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷與P=10Mpa時(shí)的1089432Mpa差了0.5Mpa左右，計(jì)算的失穩(wěn)載荷值已經(jīng)不穩(wěn)定了，所以在P=10或10.2Mpa時(shí)計(jì)算的結(jié)果均是不正確的。所以這個(gè)載荷值不能施加的過大更不能像純線性屈曲分析一樣無限增大，但是可以無限縮小，理論上來說，當(dāng)這個(gè)值無限小趨近于0的時(shí)候就跟線性特征值屈曲分析類似了，這時(shí)候就相當(dāng)于沒有加初始擾動(dòng)載荷，如下圖當(dāng)P=1e-9Mpa時(shí)，載荷因子是1.185e+10，則臨界失穩(wěn)載荷直接就是1e-9×1.185e+10=11.85Mpa。 

綜上所述，對(duì)于非線性特征值屈曲分析，載荷施加的大小是與結(jié)構(gòu)本身有密切關(guān)系的，如上面的例子，在施加到10Mpa時(shí)計(jì)算結(jié)果就已經(jīng)不正確了，但如果一個(gè)結(jié)構(gòu)可以承受的失穩(wěn)載荷是10000Mpa，那么我們施加10Mpa的初始擾動(dòng)可能對(duì)計(jì)算結(jié)果幾乎不會(huì)有影響，計(jì)算的結(jié)果也是正確的，如果一個(gè)結(jié)構(gòu)僅可承受0.1Mpa的失穩(wěn)載荷，那么施加0.01Mpa的計(jì)算結(jié)果也未必是正確的，所以初始載荷的施加與結(jié)構(gòu)本身能承受的失穩(wěn)載荷有關(guān)。但我們在以后的計(jì)算中可以完全不用考慮該結(jié)構(gòu)到底能承受多大的失穩(wěn)載荷，直接就將初始載荷設(shè)置為一個(gè)很小的值就可以了，計(jì)算的結(jié)果必然是正確的。另外通過上面對(duì)比可看出線性特征值屈曲分析計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷是11.854Mpa，而非線性特征值屈曲分析計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷是11.85Mpa，總體來說是偏小且趨于保守的，對(duì)此結(jié)構(gòu)來說雖然差別不大，但對(duì)其他結(jié)構(gòu)來說有可能要小很多，所以以后我們直接可以拋棄傳統(tǒng)的線性特征值屈曲分析了，可以直接按此種非線性特征值屈曲分析來計(jì)算了，當(dāng)然要更精確和保守就需進(jìn)一步考慮施加初始幾何缺陷的非線性屈曲分析。

WB每個(gè)版本的更新后都會(huì)增加很多強(qiáng)大的功能，所以我們也得緊跟WB的腳步，不斷解鎖和摸索其越來越強(qiáng)大的功能和技巧，不斷學(xué)習(xí)和進(jìn)步了。 歡迎感興趣的朋友關(guān)注壓力容器分析設(shè)計(jì)交流公眾號(hào)