截面特性計算的過程中，很容易在一些基本概念上出現理解偏差，于是呢，今天咱就來聊聊平面幾何性質的這些事兒。

截面幾何性質的用處

對于受彎、受扭構件而言，截面幾何性質在很多情況下都能用得上，比如兩個最常用的：

在橫截面上離中性軸最遠的各點處，彎曲正應力最大，其值為：

在橫截面上離形心最遠的各點處，扭轉的剪應力最大，其值為：

所有與截面有關的計算問題，都會涉及到截面幾何性質，比較典型的，就是抗彎慣矩、抗扭慣矩等“各種矩”。

需要注意的是，抗彎慣矩對應的是材料力學里的慣性矩，抗扭慣矩“部分等價于”材料力學里的極慣性矩。

各種“矩”

靜矩

靜矩又稱為“一階矩”，百度百科里給出的定義是：對函數與自變量的積xf(x)的積分(連續函數)或求和(離散函數)。力學中用以表示f(x)分布力到某點的合力矩，幾何上可以用來計算重心，統計學中叫做數學期望（均值）。

覺得拗口？咱們“望文生義”一下，第一次接觸到“矩”是在哪里？中學時候學過的力矩，對吧，力矩等=力*力臂，我們來類比一下，把靜矩看作“靜力矩”，是靜力的力矩，靜力指的是重力。看下面的圖：

對于面積微元dA而言，對于z軸的靜矩，就是dA對應的重力乘以dA到z軸的力臂，也就是yc，那么對dA在整個平面上積分，就成了這個平面對z軸的靜矩：

不知道有人發現了沒有，剛才說的不是“重力”嘛，怎么是對平面的積分呢？因為研究的對象就是一個沒有厚度的面，對于理想的等截面勻質構件來說，面積-體積-重力就是成正比的物理量了。

那么，靜矩有什么用呢？

計算形心位置，因為當坐標軸通過形心時，對應的靜矩就會是0，因此對于非對稱的復雜截面，我們需要得到形心位置，從而可以把整個截面的重力集中到形心點上去，實現結構分析的簡化。

形心位置：

其實，嚴格來說，本文講的全部“重力”，都應當替換成“質量”更穩妥。因為所謂形心(質心)指的是把為質量集中在此點的假想點。當截面由不同材質組成，形心和重心就不重合了。

慣性矩

有了靜矩的分析經驗，我們還是來“望文生義”，把慣性矩看為“慣性力矩”，慣性力指的是什么呢？

什么時候有慣性？當然是運動的時候啦，所以，這回和剛體運動聯系上，物體發生轉動的時候，有外力矩=轉動慣量*角加速度的關系，那么回顧一下轉動慣量是怎么定義的：

其中，m是質量，r是半徑，長度單位。

從上圖可見，是不是找到相似之處了？同樣是面積量(這里把面積等同于質量)乘以到坐標軸力臂的平方：

至于“慣性”也好理解，截面在受彎時，是不是可以理解為繞著中性軸發生截面的微小轉動呢？

上面的公式，分別是表示繞著Z軸轉的Iz和繞著Y軸轉的Iy，那么在一個平面內，只能繞著兩個軸轉么？能繞著一個點轉嗎？別忘了還可以引入“極坐標”的概念：

想一想，一個截面，繞著一個點旋轉，是什么效果？這就是扭轉啦！

慣性積

注意上面的各種“力臂”，討論了一階的力臂，也討論了一階力臂的平方，那么將兩個一階力臂相互乘積，能得到什么物理量：

如果截面對Y或Z有一個對稱軸，則Iyz=0，它的意義在于——表明截面是有對陣軸的，那么稱這對使慣性積為零座標軸稱為慣性主軸，若是慣性主軸再通過形心，就叫形心主軸。