破解一個(gè)2000年之久的古老謎團(tuán)

破解一個(gè)2000年之久的光學(xué)謎團(tuán)并非易事。然而，蒙特雷科技大學(xué)（譯注：學(xué)校簡(jiǎn)稱ITESM或TEC，是拉丁美洲規(guī)模最大的私立大學(xué)之一，也是墨西哥最著名的私立大學(xué)）博士生Rafael G. González-Acu?a卻瞄準(zhǔn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：解決鏡片中的球面像差問(wèn)題。考慮到不同方向的折射，光線如何聚焦在一個(gè)點(diǎn)上？這個(gè)問(wèn)題在兩千年前希臘數(shù)學(xué)家戴克里克斯（Diocles）的作品“燃燒的鏡子”（On Burning Mirrors）中就已經(jīng)產(chǎn)生。而克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在1690年曾坦言，即使是艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德·萊布尼茲 （Gottfried Leibniz）也無(wú)法理清頭緒。

但今天，González-Acu?a和他的同事決定使用Wolfram語(yǔ)言及其計(jì)算工具來(lái)面對(duì)這個(gè)古老的問(wèn)題。結(jié)果呢？一個(gè)突破性的文章最近橫空出世，通過(guò)精度為99.999999999％的模擬光束，解釋了鏡頭圖像的中心為什么（如何）比在邊緣處更清晰。

很巧的是，González-Acu?a最近參加了Wolfram暑期學(xué)校，我們有幸采訪到他并詳細(xì)了解他的工作。

Q: 您是如何想到用Wolfram語(yǔ)言解決光學(xué)問(wèn)題的？

A: 我對(duì)光學(xué)研究的興趣在我攻讀物理學(xué)士學(xué)位時(shí)就開(kāi)始了，我對(duì)成像問(wèn)題很感興趣。

當(dāng)我正在為手動(dòng)解決代數(shù)問(wèn)題而困擾時(shí)，我的同事Héctor A. Chaparro-Romo告訴我，Mathematica非常擅長(zhǎng)代數(shù)操作和計(jì)算。

幸運(yùn)的是，蒙特雷科技大學(xué)有Mathematica的站點(diǎn)許可證，所以我很快就開(kāi)始使用并且喜歡上了Mathematica。它顯示結(jié)果的方式，運(yùn)算內(nèi)聯(lián)的方式，以及默認(rèn)情況下進(jìn)行代數(shù)計(jì)算的方式都很令我喜歡。

Q: 你試圖解決的問(wèn)題是什么？

A: 我想要解決的問(wèn)題是球面無(wú)像差鏡頭的設(shè)計(jì)。換句話說(shuō)，從一個(gè)物點(diǎn)發(fā)出的所有光束穿過(guò)鏡頭會(huì)聚在一個(gè)像點(diǎn)中。這個(gè)古老的問(wèn)題在兩千年內(nèi)沒(méi)有解析解，主要是因?yàn)槠淙唛L(zhǎng)的代數(shù)表達(dá)式，我的意思是，一個(gè)一般方程本身就超過(guò)11頁(yè)！

這個(gè)問(wèn)題有許多數(shù)值解，但數(shù)值解和解析解之間的差異是無(wú)法估量的– 解析解保留了問(wèn)題的物理特性。我不僅找到了問(wèn)題的通解，而且還發(fā)現(xiàn)解是唯一的，Mathematica是一個(gè)很好的工具。

我的研究結(jié)果相繼以“General Formula for Bi-aspheric Singlet Lens Design Free of Spherical Aberration” （https://doi.org/10.1364/AO.57.009341） 和“General Formula to Design a Freeform Singlet Free of SphericalAberration and Astigmatism”（https://doi.org/10.1364/AO.58.001010）為題，發(fā)表在權(quán)威雜志《應(yīng)用光學(xué)》中。

                             上圖為透鏡中球面像差問(wèn)題的方程

Q: 你以前和現(xiàn)在都是如何開(kāi)發(fā)解決方案的？

A: 我花了好幾個(gè)月時(shí)間研究這個(gè)問(wèn)題。這是一種癡迷。我一直與我的共同作者Chaparro-Romo交流 - 我們是一個(gè)團(tuán)隊(duì)，分享代碼、想法和可能的解決方案；為了解決自由形式鏡頭的問(wèn)題，我們有過(guò)很多次非常棒的討論。

我讀過(guò)幾篇與牛頓有關(guān)的對(duì)該問(wèn)題的評(píng)論。事實(shí)上，克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在他的著作《光之論》（Treatise on Light）中提到牛頓、萊布尼茲和笛卡爾都未能成功給出解決方案。

而實(shí)際上，惠更斯在他的《光之論》第六章得到了一個(gè)近似的解決方案：而實(shí)際上，惠更斯在他的《光之論》第六章得到了一個(gè)近似的解決方案：

                                        

Christiaan Huygens的1690年著作《光之論》摘錄，以及Rafael的Mathematica筆記本輸出（最右）

但是經(jīng)過(guò)這么多年，我們現(xiàn)在已經(jīng)得到了300多年前由惠更斯、笛卡爾、萊布尼茲和牛頓以及2000多年前的戴克里斯所尋求的方程式。查看我們的Wolfram筆記本關(guān)于構(gòu)建無(wú)球差鏡頭的簡(jiǎn)介，了解Rafael G. González-Acu?a和 Héctor A. Chaparro-Romo的解決方案:

https://develop.open.wolframcloud.com/objects/exploration/SphericalAberrationFreeLens.nb