最近在學有限元，看到不少資料都提到了 EXPLICIT ALGORITHM 和IMPLICIT ALGORITHM，很是費解，查詢到一篇文章寫的不錯，特在此與大家分享，文章出處：公眾號 CAE&CFD

顯式（explicit）和隱式（implicit）這兩個詞在有限元分析中大家可能經?？吹剑貏e是涉及到動力學分析時。但其實廣義的說他們分別對應著兩種不同的算法：顯式算法（explicit method）和隱式算法（implicit method），所以不論在動力學或者靜力學中都有涉及到。

我們都知道有限元分析FEA在計算微分方程（differential equations）時，由于計算本身的局限，比如計算機儲存的位數有限，以及方程本身的復雜性，計算機運用的是數值算法（numerical algorithm）來逼近真實解的。有限元分析中數值算法的基礎是歐拉法（Euler method），歐拉法又分為forward Euler method 和backward Euler method，這兩種方法被簡稱為顯式法（explicit method）和隱式法（implicit method）。

首先我們來看看這兩種算法的區別。

顯式算法（explicit method）（forward Euler method）
考慮常微分方程：

初始條件：

設h為每一步的時間步長， 在tn時刻

(n=0,1,2,3...)，在T(n+1)時刻有：

所以在顯式算法中，T(n+1)時刻的值由T(n)時刻決定，也就是說當前時刻的值由上一時刻的值決定。

隱式算法（implicit method）（backward Euler method）

考慮同一個方程，在T（n+1）時刻有：

所以在隱示算法中，T(n+1)時刻的值不光由T(n)時刻決定，還由當前時刻T(n+1)決定。也就是說當前時刻的值由上一時刻和當前時刻的值共同決定。隱式算法往往需要求解二次方程。

我們來看看一個具體事例：

設常微分方程：

根據上面的方法，對于顯示算法有：

得出：

對于隱式算法有：

導出二次方程：

求解得:

所以很明顯，在隱式算法中，要求得K+1時刻的值，就需要求解二次方程的根。

關于收斂性

顯式算法不存在收斂性的問題（因為不進行收斂計算），從方程中可以看出來，每個時刻的值由上一時刻所確定，所以一步一步進行下去，當時間步取得較大時，就會偏離真實值。

顯式算法的過程（藍色為真實值）

隱式算法是無條件收斂的，在隱式算法中，在求解二次方程的同時，會通過Newton–Raphson method算法對每一步進行迭代收斂，直至收斂到指定的偏差。如下圖所示：

時間步長（time integration）的依賴性（時間變量只在動力學中涉及）

顯式算法要獲得準確的結果，需要取很小的時間步長

隱式算法對時間步長要求不高，由于是絕對收斂的，往往可以取較大的時間步長。

運用上面的方法，我們以方程為例，通過數值算法求得f(u)。當把時間步長取為1時，顯式（explicit）和隱式（implicit）的結果如下圖所示：

可以看出，隱式算法是絕對收斂的，每一步都沒有偏離真實值，而由于時間步長取得很長，所以顯式算法的結果遠遠偏離了真實值。

當把時間步縮小到0.05時，顯示算法的結果如下圖所示：

可以看出，當把時間步取得很小時，顯示算法可以很接近真實值。

上面主要講了隱式和顯式算法的差別，下面我們來看看這兩種方法在動力學分析中的運用和差別。

動力學分析（Dynamics Analysis）

靜力學（static）分析不考慮質量/阻尼和時間，而動力學分析需要考慮系統阻尼和時間的變化。

首先大家要知道有限元分析FEA的輸出是什么，雖然我們可以從仿真后處理中得到很多的結果，如應力，應變，位移等等，但本質上，所有的物理量都是通過先計算出節點處的位移，然后導出應變，再通過應變根據材料力學的理論導出其它物理量的，這一點大家要記住。

在有限元分析中，動力學分析的基本方程是由如下方程導出和決定的：

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {F}

其中[M]是質量矩陣，[C]為阻尼矩陣，[K]為剛度矩陣，a為加速度，v為速度，x為位移，{F}表示外力。如果我們把方程寫為導數的形式，則有：

所以這里的加速度，速度和位移是彼此關聯的，這很有用。

隱式動力學（explicit dynamic）

在動力學分析中，隱式分析直接計算位移x，而要求得位移x，就需要對剛度矩陣K進行求逆（inversion），而計算機在進行矩陣求逆時，需要耗費大量時間和計算機內存。那么我們需要對方程做如下變動：

而

，所以有：

所以對剛度矩陣K求逆是必須的。

顯式動力學（explicit dynamic）

在動力學分析中，顯式分析先計算加速度a，再通過積分算法分別導出速度v和位移x。比如一旦在時刻n求得了加速度，速度會在n+1/2時刻計算出，然后位移在n+1時刻求出（相當于一個時間步長），然后通過位移導出應變（strain），在通過應變導出應力（stress）。

可能有人會問，和隱式動力學類似，要求得加速度a，不是一樣要對質量矩陣M求逆嗎，是的，但這里M的導出遠遠比剛度矩陣簡單很多，而且M可以簡化為對角矩陣，所以對M不需要直接求逆，通過簡單的矩陣乘法就可以得出逆矩陣。

計算的效率

在動力學分析中，顯式法和隱式法在計算時間上各有優缺點

顯示動力學由于是間接求得位移x的，和前面類似，要取得足夠的精度，需要取很短的時間步長，所以需要進行很多步計算，但每一步計算需要的時間很短

隱式動力學由于是直接求得位移x，所以不存在收斂性問題，但由于動力學分析往往涉及到非線性（幾何非線性，材料非線性等），可能每一步都要進行剛度的求逆，非常耗時，但時間步長相對顯示算法可以取得很大。

適用范圍

雖然在計算效率上各有優勢，但總的來說，在動力學分析中，主要還是采用顯式算法，因為在動力學分析中，如頻率響應分析，響應譜分析等等，往往時間很短，要獲得較好的結果，需要取很短的時間步長來捕捉瞬時的響應，這時候顯示動力學就很有用，而且在計算時間上也具有較大優勢。

隱式算法主要還是用于時間周期較長的非線性分析（Nonlinear analysis），屬于靜力學分析的范疇，當然也包括動力學分析里面特殊的準靜力分析（quasi-static）。

靜力學分析中是不會用到顯式算法的，動力學分析中主要采用顯式算法（特別是響應時間很短的問題），當然也可以采用隱式算法，但需要選擇較為合適的時間步長，當時間步長取得合適時，拋開計算時間，兩種算法的結果是相差不大的，同一個問題大家可以兩種方法都試一試，但總的來說，動力學分析大多數問題還是采用顯示算法的。

顯式算法的例子：

物體以高速（比如2000m/s）落在一個平板上，交互時間為0.2秒時

飛機著陸時的瞬時響應

隱式算法的例子：

鈑金成型過程的非線性分析