電子散熱冷卻中經常采用Boussinesq假設來計算自然對流散熱，該方法計算速度快，計算穩定性高。

本文主要講述采用Boussinesq假設的自然對流原理、關鍵點及應用條件，下一篇會講述具體的應用案例。

• 為什么要采用Boussinesq假設？

自然對流主要由于密度受熱變化產生密度差造成，該現象可用如下的可壓縮N-S方程描述。

一方面可以看到該方程是高度非線性的，這種特性會造成求解變得不穩定；另一方面可以看到該方程需要求解的變量非常多，包括速度場u、v、w，壓力場p，密度場ρ等，內存需求比較大。

Boussinesq假設即為解決上述問題而產生，當然既然是假設，自然有一些適用前提，Boussinesq假設氣體密度變化非常小。

• Boussinesq假設在方程中如何表現

好吧，下面講述一些枯燥的理論，即Boussinesq假設如何在方程中表現。主要分為以下幾步：

1.把氣體密度ρ寫成參考密度項ρ0與由于溫度引起的密度變化項△ρ之和。

根據假設，其中△ρ遠小于ρ₀。

2.把方程（3）代入上述N-S方程（1）、（2），并得到如下方程。    

自然對流中浮力是驅動力，因此動量方程（5）中的浮力項也是占主導作用，且密度變化△ρ遠小于參考密度ρ0,因此對于瞬態項、對流項可以忽略△ρ，即

最終簡化為

可以看到此時瞬態項、對流項的密度已被消去，只剩下浮力項還帶有密度，我們的目標是把浮力項中的密度也消去，這樣方程的非線性、內存需求都會降低。

3.浮力項密度可以用溫度代替嗎？帶著這樣一個疑問，在消去浮力項密度之前，首先定義一個名詞：熱膨脹系數β。

熱膨脹系數即為在定壓力下，密度隨溫度變化的相對變化率，可用氣體運動熱力學理論解釋，如圖所示，在箱體未加熱時，上層活動板在大氣壓力下保持平衡，當箱體加熱時，氣體運動加劇，氣體溫度上升，箱體體積膨脹，活動板上升，密度降低，該現象可用熱膨脹系數表征箱體膨脹程度的大小。

4.接著把熱膨脹系數作線性化，然后做一些整理，最終得到方程（18）形式，此時密度終于和溫度聯系到一起。

5.把密度和溫度的關系帶入到浮力項中，最終得到Boussinesq假設下的自然對流求解方程。

其中T0為參考溫度，通常取室溫或環境溫度，β為熱膨脹系數。可以知道，該方程消去了密度項，非線性和內存需要都降低，計算穩定及計算速度都會得到提升，這也是Boussinesq假設下受歡迎的原因。

• Boussinesq假設適用的具體條件

Boussinesq假設適用場景非常關鍵，這也是我們經常忽略導致計算精度不高的主要原因。

如前所述，Boussinesq假設適用于

我們可以寫成如下形式：

密度相對變化率遠小于1，通常認為<1%。密度變化還不夠直觀，通過熱膨脹系數表達式，可以轉化為溫度變化適用條件：

為更有sense一些，如果以1%為最大誤差的話，通常在室溫下，認為溫度變化在以下范圍，Boussinesq假設均適用。

如果想要更簡單直接的作判斷，

• 當△T<15℃且Ma<<1，Boussinesq假設是適用的；

• 當△T>15℃或Ma>0.3，還是采用可壓縮N-S方程形式吧。

[1]https://www.fluidmechanics101.com

[2]Computational Methods for Fluid Dynamics,J.Ferziger&M.Peric

[3]ANSYS Fluent User Manual

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