題記： 

       在中國，就數學軟件使用者數目而言， Matlab 一直是占領著高地。這與 Matlab 優秀的數值計算和處理大數據的能力密不可分，還有一個關鍵原因就是中國用戶多，交流環境良好。尺有所長，寸有所短，對于數學軟件而言也是如此。比如就符號計算能力而言，Matlab顯得相對不足，這時候恐怕要推薦一下 Maple或者 Mathematica。在使用軟件的過程中，筆者發現很多人拿著一方的優勢去有意貶低另外一個軟件的不足，我認為大可不必，作為使用者不必拘泥，可以依據實際情況各取所需，為我所用。

    本文就拋轉引玉，介紹下maple軟件通用的一些使用方法，以及使用Maple 求解旅行推銷員相關問。Maple 是1982年加拿大Waterloo大學開發的一個符號運算和數值計算軟件平臺。之后幾乎每年都進行發布新版本，目前最新的版本是2019年三月發布的Maple 2019。它在處理數學相關問題相當出色和專業。結合Maple軟件學習數學也會增加相應的樂趣。

首先這里針對Maple初學者可能遇到疑惑的點解釋一下:為什么有的命令輸入可以起作用，有的命令明明輸入了怎么也不起作用。

比如想畫一個各占1/3的餅狀圖。我們查到命令: PieChart([1, 2, 3])。輸入之，很不幸你將會看到原樣輸出。這是為什么？

原因分析: Maple將一些專業性較強的關聯緊密的函數命令集成到各種包里。如線性代數相關的 (典型的如求特征值，行列式) 就放到LinearAlgebra 包里，統計相關的就放在Statistics 包里。你使用內置命令之前需要查幫助文檔（輸入相關命令按F2）看看是不是在某個包里。上面說的函數PieChart 就在Statistics 包里。最直接的辦法是添加with( Statistics): 效果圖如下:

言歸正傳，圖是一類重要的數據結構，圖論是研究圖的一門學科。可以利用Maple進行圖論的研究。當然也有的人用其繪制精美的圖論里的圖。注意：Maple 里的圖不支持含重邊和環邊。

圖論相關的放在GraphTheory 和 SpecialGraphs 包里，分別有197和 79 個函數命令。 還有一個是networks 包，不過這個包已經停止更新和維護，屬于將被棄用的狀態。Maple之所以保留并可以使用，估計Maple開發者有戀舊的美好情懷。

旅行推銷員問題 (英語：travelling salesman problem, TSP）是這樣一個問題：給定一系列城市和每對城市之間的距離，求解訪問每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是組合優化中的一個NP困難問題，在運籌學和理論計算機科學中非常重要。

一個判定問題（答案只有是或者否）屬于NP 當且僅當這個問題是非確定型多項式時間可計算的。若NP問題類任何一個問題均可在多項式時間內轉成問題A, 稱 問題A 是NP 困難問題。說句人話就是這個問題本身比較復雜，隨著問題規模越大，即使再強大的計算機也幾乎無法求解。這時候規模大時候往往尋求近似解。

旅行推銷員問題在圖論中的一個等價形式是：給定一個加權完全圖（頂點表示城市，邊表示道路，權重就會是道路的成本或距離）, 求一權值最小的哈密爾頓回路。

下面舉一個現在看起來瘋狂的例子。

大學畢業生小張準備騎自行車進行畢業旅行，出發地武漢，到南京，成都，合肥，西安，四個城市旅游，最后回到武漢。模型假設我們將五個城市視為圖的5個定點，他們的直接距離是圖的權重。上面城市分別記為1，2，3，4，5.

首先我們可以利用Wolfram Mathematica 聯網功能一次性求出它們之間的距離。

我們利用上面的距離數據在 Maple 里通過下列方式構建下面的圖：

restart;

with(GraphTheory):               

 # 5個城市, 問題歸結于在一個完全賦權圖找一個最優Hamilton 圈.   

distanceofcities:= Matrix(5, {(1, 2) = 459.149, (1, 3) = 977.647, 

(1, 4) =319.501,(1,5)=649.843,(2,3)=1406.79,(2,4)=143.539,(2,5)=953.511, 

(3,4)= 1264.16,(3,5)=604.452,(4,5)=827.082 }, fill = 0, shape = symmetric):                                           # 定義賦權矩陣distanceofcities

travelcities:=Graph(distanceofcities):    # 通過賦權矩陣構成的完全賦權無向圖travelcities

DrawGraph(travelcities,stylesheet= [vertexborder = false, vertexpadding = 15,edgecolor="blue", vertexcolor="Gold",

edgethickness=5], font=["Courier",10], size=[400,400]); 

然后利用內置命令求解：

t:=time[real]():

TravelingSalesman(travelcities);s

'time'=time[real]()-t; #記錄運行時間

運行結果如下:

(*結果解讀如下：選擇路線為武漢->合肥->南京->西安->成都->武漢，總行程2998.65公里。運行時間是0.051秒。*)

如果此時我們將城市擴大到10個，并考慮有時候由于地理條件的諸多原因兩地往返的路選擇未必一樣。也就是往返選擇的路的距離未必一致，這時侯考慮的就是有向圖了。Maple 照樣可以處理。

n:=10:

A1:= Matrix(n, (i,j)->`if`(i=j,0,n*(n-i)^4+2*j+(n-i)^2+j^3));

# A1 賦權矩陣

G1:=Graph(A1):

t:=time[real]():

TravelingSalesman(G1);

'time'=time[real]()-t;

運行結果是

這時我們會發現內置命令為56.79300 秒，時間已經算多的了，有人會問我們有希望自己編寫的代碼比內置命令更節省時間嗎？很多情況的確是可以幸運地做到的。下面的方面是把每個路線方法（共 10！/2= 1814400 種）進行比較。從方法上感覺很笨。

n:=10:

P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]): 

cmin:=infinity:  ord:= <"none">:                                      

for  v in P do     

  f:=add(A1[v[k],v[k+1]],k=1..n-2) + A1[1,v[1]]+A1[v[n-1],1];

  if f<cmin then cmin:=f; ord:=copy(v) fi;

od:

cmin;tour:=[1, entries(ord,'nolist',indexorder),1];

'time'=time[real]()-t; 

HighlightTrail(G1, tour, red);

DrawGraph(G1, style = circle);

運行結果如下：

 

得到了相同的結果，但是令人驚訝的是時間卻是1.775秒，遠遠小于內置方法。 其中原因估計有二：第一我們沒有采用真正意義上的暴力計算，而是巧妙地采用所謂惰性計算方法-迭代，這里主要體現在：

P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]): 。

第二點，我們考察 Maple 里TravelingSalesman 函數幫助文檔用的什么算法，可以看到如下文字： The algorithm is a branch-and-bound algorithm using the Reduce bound (see Kreher and Stinson, 1999).

于是我們知道主要采用分支定界算法，這個方法有時候搞不好枝搞地很多，將會花費很多時間去剪枝，有時候反而不如直接比較的方法來的快。所以說我們也不能過度依賴內置函數去處理問題，而是依據實際情況進行合理的處理。

至于較大規模的旅行銷售員問題的近似計算，有興趣地找找相關文獻讀讀。

最后，如果大家有matlab/maple/mathematica相關算法問題，可以通過我們的微信公眾號聯系我們。

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