本貼是Optistruct低周疲勞分析中軟件計算E-N曲線的方法

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如下圖所示，Optistruct低周疲勞分析的E-N曲線由以下幾個參數(shù)構成：              σ_f——疲勞強度系數(shù)（Fatigue strength coefficient）

b——疲勞強度指數(shù)（Fatigue strength exponent），金屬材料通常在 -0.04 ~ -0.15之間

c——疲勞延性指數(shù)（Fatigue ductility exponent），金屬材料通常在 -0.3 ~ -1之間

ε_f——疲勞延性系數(shù)（Fatigue ductility coefficient）

n——循環(huán)硬化指數(shù)（Cycle strain-hardening exponent）

K——循環(huán)強度系數(shù)（Cycle strength coefficient）

Nc——疲勞壽命(循環(huán)次數(shù)）截止點 (軟件默認為2×10⁸)

下面將分別說明這幾個參數(shù)的計算

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       上圖是一個標準的E-N曲線圖，總的E-N曲線（Total）由2部分組成，分別為彈性主導區(qū)（Elastic）曲線和塑性主導區(qū)（Plastic）曲線。彈性主導區(qū)與塑性主導區(qū)之間的壽命轉折點（Transition life）為2N_T。

       Morrom于1965年發(fā)表的文章 《Cyclic plastic strain energy and fatigue of metals》中指出，金屬材料的總應變幅（ε_a）和疲勞壽命（2N_f）之間存在如下關系，即應變壽命方程：

       這個方程由彈性應變幅（ε_a^e）—壽命（2N_f）方程和塑性應變幅（ε_a^p）—壽命（2N_f）方程相加組成。

       其中，彈性應變幅（ε_a^e）—壽命（2N_f）方程為：

       塑性應變幅（ε_a^p）—壽命（2N_f）方程為：

       注意，方程中的e和p代表的是elastic和plastic，即用來說明是彈性還是塑性，并不是指數(shù)。E 為彈性模量。

       由以上2個公式可知，在對數(shù)坐標系下，彈性應變幅（ε_a^e）與塑性應變幅（ε_a^p）和疲勞壽命（2N_f）之間是線性的，求解E-N曲線的本質就是求解這兩個線性線段。

       下面我們將問題縮減為求解對數(shù)坐標系下應變幅與疲勞壽命之間的線性關系。

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_{1、塑性應變幅（εa^p）與壽命（2Nf）之間的關系}

       設X =lg（ε_a^p）， Y=lg（2N_f），對數(shù)坐標系下塑性主導區(qū)線段的截距為A ，斜率為B，則：

        將方程（2）兩邊取對數(shù)可以導出：

        進行簡單的對數(shù)運算可以得到：

        對比公式（3）和公式（4）可以得到：

       將上式的數(shù)據(jù)進行轉換得到：

       通常，在對數(shù)坐標系下，將疲勞試驗結果的塑性應變幅與循環(huán)次數(shù)（疲勞壽命）做線性回歸，可以得到截距A和斜率B，進而計算得到c（Fatigue ductility exponent）和ε_f（Fatigue ductility coefficient）的值，從而確定塑性主導區(qū)的應變幅—壽命關系。為了簡化，Optistruct將鋁合金的c定為了-0.69；鋼材的c定為了-0.58。

        小結：

        構成E-N曲線塑性主導區(qū)的參數(shù)有2個，分別為 c 和 ε_f 。其中c 為對數(shù)坐標系下塑性應變幅—循環(huán)次數(shù)（疲勞壽命）線段的斜率； ε_f 為循環(huán)壽命（2N_f）為1時的塑性應變幅，即E-N曲線的起點。

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2、彈性應變幅（ε_a^e）與疲勞壽命（2N_f）之間的關系

       方法與上面塑性應變幅和疲勞壽命的關系推導完全相同。

      設X =lg（ε_a^e）， Y=lg（2N_f），對數(shù)坐標系下彈性主導區(qū)線段的截距為A ，斜率為B，則：

       將方程（1）兩邊取對數(shù)可以導出：

       進行簡單的運算可以得到：

        對比公式（5）和公式（6）可以得到：

        將上式的數(shù)據(jù)進行轉換得到：

      通常，在對數(shù)坐標系下，將疲勞試驗結果的彈性應變幅與循環(huán)次數(shù)（疲勞壽命）做線性回歸，可以得到截距A和斜率B，進而計算得到 b（Fatigue strength exponent）和 σ_f（Fatigue strength coefficient）的值，從而確定彈性主導區(qū)的應變幅—壽命關系。為了簡化，Optistruct將鋁合金的 b 定為了-0.095；鋼材的 b 定為了-0.087。

        小結：

        構成E-N曲線彈性主導區(qū)的參數(shù)有2個，分別為 b 和 σ_f。其中c 為對數(shù)坐標系下彈性應變幅—循環(huán)次數(shù)（疲勞壽命）線段的斜率；σ_f為循環(huán)壽命（2N_f）為1時的彈性應變幅。

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3、循環(huán)硬化指數(shù) n 與循環(huán)強度系數(shù) K 的確定

       Ramberg 和 Osgood于1943年發(fā)表的文章《Description of stress –strain curves by three parameters》中第一次使用循環(huán)硬化指數(shù) n 與循環(huán)強度系數(shù) K 描述塑性應變，其關系為：

       將上式進行簡單的變換，得到：

其中： ε^p——塑性應變

            σ——真實應力

            K——循環(huán)強度系數(shù)

            n——循環(huán)硬化指數(shù)

        將公式（8）兩邊取對數(shù)得到公式（9）：

        由公式（9）可知，在對數(shù)坐標系下，塑性應變（ε^p）與真實應力（σ）之間是線性關系。

        設X =lg（ε^p），Y=lg（σ），在對數(shù)坐標系下塑性應變與真實應力線段的截距為A ，斜率為B，則：

                                                                    Y = A + BX                                     (10)

        對比公式（9）和公式（10），得到：K = 10^A；n = B

        如此，只要我們得到材料的真實應力-塑性應變曲線，將其取對數(shù)后做線性回歸，就可以得到方程  

 Y = A + BX 中的 A 和 B 的值，進而計算出該材料的循環(huán)強度系數(shù)（K）和循環(huán)硬化指數(shù)（n）。

        Optistruct為了簡化，將鋼材的 n 值定為了0.15，K 值定為了1.65*UTS；鋁合金的 n 值定為了0.11，K 值定為了1.61*UTS。（UTS表示材料的抗拉強度）

        通過本貼的方法可以計算出材料準確的循環(huán)強度系數(shù)（K）和循環(huán)硬化指數(shù)（n），提高仿真分析的準確性。

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總結：

        本貼講述了Optistruct自動合成E-N曲線的計算方法，給出了構成E-N曲線的6個主要參數(shù)σ_{f 、}b、c、ε_{f 、}n、K 的計算方法，幫助讀者合成自己所需的E-N曲線用于低周疲勞分析。

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